摘要：★★★突破重难点 [范例1]已知P是直线3x+4y+8=0上的动点.PA.PB是圆 x2+y2-2x-2y+1＝0的两条切线.A.B是切点.C是圆心.求四边形PACB面积的最小值. 解法一:∵点P在直线3x+4y+8=0上. 如图1. ∴设P(x. x).C点坐标为(1.1). S四边形PACB＝2S△PAC＝|AP|·|AC|＝|AP|·|AC|＝|AP| ∵|AP|2＝|PC|2-|AC|2＝|PC|2-1 ∴当|PC|最小时.|AP|最小.四边形PACB的面积最小． ∴|PC|2＝(1-x)2+(1+2+x)2＝ ∴|PC|min＝3 ∴四边形PACB面积的最小值为2． 解法二:由法一知需求|PC|最小值.即求C到直线3x+4y+8=0的距离.∵C(1.1).∴|PC|==3.SPACD=2. [点晴]求角.距离.面积等几何量问题的关键在于分析几何问题的特殊性.寻找快捷简便的方法.本题的关键在于S四边形PACB＝2S△PAC.然而转化为|PC|的最值问题. [文]已知等腰的底边AB所在的直线方程为.顶点C的坐标是(2.2).顶角为1200.求两腰所在的直线方程及的面积. 解:设腰所在直线的斜率为k. 又.. 故一腰所在直线方程为 另一腰垂直于x轴.方程为 .S= [范例2]过点M(2,4)作两条互相垂直的直线.分别交x.y的正半轴于A.B.若四边形OAMB的面积被直线AB平分.求直线AB方程. 解:设AB的方程为 ∴.. ∵⊥ ∴ ∵a>0 0<b<5 ∵AB方程的一般式为bx+ay-ab=0 ∴M到AB的距离 ∴的面积 而的面积. ∵直线AB平分四边形的面积.∴. 可得 故所求AB方程为和. [点晴]若命题中的直线与两坐标轴均有交点.应先考虑选用截距式方程是否有利. [文]已知点P到两个定点M.N(1.0)距离的比为.点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程 解:设点P的坐标为(x.y).由题设有. 即． 整理得 x2+y2-6x+1=0． ① 因为点N到PM的距离为1.|MN|＝2. 所以∠PMN＝30°.直线PM的斜率为±. 直线PM的方程为y=±(x+1)．② 将②式代入①式整理得x2-4x+1＝0．解得x＝2+.x＝2-． 代入②式得点P的坐标为(2+.1+)或(2-.-1+), (2+.-1-)或(2-.1-)． 直线PN的方程为y=x-1或y=-x+1． [范例3] 已知气象台A处向西300km处.有个台风中心.已知台风以每小时40km的速度向东北方向移动.距台风中心250km以内的地方都处在台风圈内.问:从现在起.大约多长时间后.气象台A处进入台风圈?气象台A处在台风圈内的时间大约多长? 解:如图建立直角坐标系.B为台风中心.处在台 风圈内的界线为以B为圆心.半径为250的圈内.若t 小时后.台风中心到达B1点. 则B1(-300+40tCOS450,40tsin450). 则以B1为圆心.250为半径的圆的方程为 那么台风圈内的点就应满足 . 若气象台A处进入台风圈.那么A点的坐标就应满足上述关系式.把A点的坐标(0.0)代入上面不等式. 得.解得. 即为, 所以气象台A处约在2小时后进入台风圈.处在台风圈内的时间大约6小时37分. [点晴]做应用题的关键是寻求有效信息.建立数量之间的关系. [文]设A(-c.0).B(c.0)(c>0)为两定点.动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0).求P点的轨迹. 解:设动点P的坐标为P(x.y).由=a(a>0)得=a. 化简得(1-a2)x2+2c(1+a2)x+c2(1-a2)+(1-a2)y2=0. 当a≠1时.得x2+x+c2+y2=0. 整理得(x-c) 2+y2=()2 当a=1时.化简得x=0. 所以当a≠1时.P点的轨迹是以(c.0)为圆心.||为半径的圆, 当a=1时.P点的轨迹为y轴. [点睛]本题考查直线.圆.曲线和方程等基本知识.考查运用解析几何的方法解决问题的能力. [范例4]已知动圆过定点P(1.0).且与定直线l:x=-1相切.点C在l上. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹M的方程, (Ⅱ)设过点P.且斜率为-的直线与曲线M相交于A.B两点. (i)问:△ABC能否为正三角形?若能.求点C的坐标,若不能.说明理由, (ii)当△ABC为钝角三角形时.求这种点C的纵坐标的取值范围. (Ⅰ)法1 依题意.曲线M是以点P为焦点.直线l为准线的抛物线. 所以曲线M的方程为y2=4x. 法2 设M(x.y).依题意有|MP|=|MN|. 所以|x+1|=.化简得:y2=4x. (Ⅱ)(i)由题意得.直线AB的方程为y=-(x-1). 由消y得3x2-10x+3=0. 解得x1=.x2=3. 所以A点坐标为(). B点坐标为(3.-2). |AB|=x1+x2+2=. 假设存在点C(-1.y).使△ABC为正三角形.则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|. ① ② 即 由①-②得42+(y+2)2=()2+(y-)2. 解得y=-. 但y=-不符合①. 所以由①.②组成的方程组无解. 因此.直线l上不存在点C.使得△ABC是正三角形. (ii)法1:设C(-1.y)使△ABC成钝角三角形.由 得y=2.即当点C(-1.2)时.A.B.C三点共线.故y≠2. 又|AC|2=(-1-)2+(y-)2=+y2. |BC|2=(3+1)2+(y+2)2=28+4y+y2.|AB|2=()2=. 当∠CAB为钝角时.cosA=<0. 即|BC|2 >|AC|2+|AB|2.即. 即y>时.∠CAB为钝角. 当|AC|2>|BC|2+|AB|2.即. 即y<-时.∠CBA为钝角. 又|AB|2>|AC|2+|BC|2.即. 即. 该不等式无解.所以∠ACB不可能为钝角. 因此.当△ABC为钝角三角形时.点C的纵坐标y的取值范围是 . 法2:以AB为直径的圆的方程为(x-)2+(y+)2=()2. 圆心()到直线l:x=-1的距离为. 所以.以AB为直径的圆与直线l相切于点G(-1.-). 当直线l上的C点与G重合时.∠ACB为直角.当C与G点不重合.且A.B.C三点不共线时.∠ACB为锐角.即△ABC中.∠ACB不可能是钝角. 因此.要使△ABC为钝角三角形.只可能是∠CAB或∠CBA为钝角. 过点A且与AB垂直的直线方程为.令x=-1得y=. 过点B且与AB垂直的直线方程为y+2( x-3).令x=-1得y=-. 又由解得y=2. 所以.当点C的坐标为(-1.2)时.A.B.C三点共线.不构成三角形. 因此.当△ABC为钝角三角形时.点C的纵坐标y的取值范围是 y<-或y>(y≠2). [点晴]该题全面综合了解析几何.平面几何.代数的相关知识.充分体现了“注重学科知识的内在联系 .题目的设计新颖脱俗.能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.比较深刻地考查了解析法的原理和应用.以及分类讨论的思想.方程的思想.该题对思维的目的性.逻辑性.周密性.灵活性都进行了不同程度的考查.对运算.化简能力要求也较高.有较好的区分度. [文]设圆满足:①截y轴所得弦长为2,②被x轴分成两段圆弧.其弧长的比为3:1,③圆心到直线l:x-2y=0的距离为.求该圆的方程. 解:设圆的圆心为P(a.b).半径为r.则点P到x轴.y轴距离分别为|b|.|a| 由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为900. 知圆P截x轴所得的弦长为.故r2=2b2 又圆P截y轴所得的弦长为2.所以有r2=a2+1从而得2b2-a2=1 又点P(a.b)到直线x-2y=0的距离为.所以 即有a-2b=±1.由此有 解方程组得于是r2=2b2知 所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2 ★★★自我提升1．将直线l沿x轴正方向平移两个单位.再沿y轴负方向平移3个单位.又回到了原来的位置.则l的斜率为( B ) A． B． C． D．

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