摘要：运用空间向量的坐标运算解决几何问题时.首先要恰当建立空间直角坐标系.计算出相关点的坐标.进而写出向量的坐标.再结合公式进行论证.计算.最后转化为几何结论. 拓展题例 [例1] 已知A.B.求: (1)线段AB的中点坐标和长度, (2)到A.B两点距离相等的点P(x.y.z)的坐标满足的条件. 解:(1)设P(x.y.z)是AB的中点.则= (+)=［］=(2.1.).∴点P的坐标是(2.1.).dAB==. (2)设点P(x.y.z)到A.B的距离相等. 则 =. 化简得4x+4y-6z+3=0.即为P的坐标应满足的条件. 评述:空间两点P1(x1.y1.z1).P2(x2.y2.z2)的中点为(..).且|P1P2|=. [例2] 棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中.在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC? 解:以D为原点建立如图所示的坐标系. 设存在点P(0.0.z). =(-a.0.z). =(-a.a.0). =(a.a.a). ∵B1D⊥面PAC.∴·=0.·=0.∴-a2+az=0.∴z=a.即点P与D1重合. ∴点P与D1重合时.DB1⊥面PAC. [例3] 已知三棱柱ABC-A1B1C1中底面边长和侧棱长均为a.侧面A1ACC1⊥底面ABC.A1B= a. (1)求异面直线AC与BC1所成角的余弦值, (2)求证:A1B⊥面AB1C. 解:过点B作BO⊥AC.垂足为点O.则BO⊥侧面ACC1A1.连结A1O.在Rt△A1BO中.A1B=a.BO=a.∴A1O=a. 又AA1=a.AO=.∴△A1AO为直角三角形.A1O⊥AC.A1O⊥底面ABC. 解法一:(1)∵A1C1∥AC.∴∠BC1A1为异面直线AC与BC1所成的角. ∵A1O⊥面ABC.AC⊥BO.∴AC⊥A1B.∴A1C1⊥A1B. 在Rt△A1BC1中.A1B=a.A1C1=a. ∴BC1= a.∴cos∠BC1A1=. ∴异面直线AC与BC1所成角的余弦值为. (2)设A1B与AB1相交于点D. ∵ABB1A1为菱形.∴AB1⊥A1B. 又A1B⊥AC.AB1与AC是平面AB1C内两条相交直线.∴A1B⊥面AB1C. 解法二:(1)如图.建立坐标系.原点为BO⊥AC的垂足O.由题设条件可得B( a.0.0).C1(0.a.a).A(0.-a.0).C(0.a.0). ∴ =(-a.a.a).=(0.a.0). 设与的夹角为θ.则 cosθ===. ∴异面直线AC与BC1所成角的余弦值为. (2)A1(0.0.a).B(a.0.0).∴ =(a.0.-a). =(0.a.0).·=0. ∴A1B⊥AC. ∵ABB1A1为菱形.∴A1B⊥AB1. 又∵AB1与AC为平面AB1C内两条相交直线.∴A1B⊥平面AB1C.

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