摘要：在综合问题中.首先要注意是否构建直角坐标系.能较易建立直角坐标系的.尽量建立直角坐标系.其次要注意向量运算与基本性质相结合的论述.这是今后的方向.可以“形到形 .可以“数到形 .注意数形结合.向量方法与传统方法各有千秋.相得益彰. 必须熟练掌握向量的基本知识和技能.尤其提出如下几点: (1)怎样选择应用基底和建立直角坐标系及坐标系建立技巧, (2)法向量的应用对处理角和距离的重要性, (3)怎样用向量解决立体几何中的几大常见题型, (4)准确判断是否选用向量处理问题.明确向量解题的缺点, (5)空间向量是怎样由平面向量拓展而来的. ●教师下载中心 教学点睛 要给学生归纳.总结.使学生系统地掌握线线.线面.面面的位置关系.特别是平行与垂直的判定与性质.通过对照.深刻理解异面直线所成的角.斜线与平面所成的角.二面角的平面角.理解点到面的距离.异面直线的距离.通过解题总结证明立体几何问题的常见方法.注意培养学生的空间想象能力. 拓展题例 [例1] 已知直线a∥α.且a与α间的距离为d.a在α内的射影为a′.l为平面α内与a′平行的任一直线.则a与l之间的距离的取值范围是 A.［d.+∞) B.(d.+∞) C.(0.d］ D.{d} 解析:如图.在a上任取一点P作PO⊥a′.垂足为O.过O作OA⊥l.垂足为A.连结PA.则PA⊥l.PA⊥a.故PA就是a与l之间的距离.在Rt△POA中.PA>PO=d.选B. 答案:B [例2] 如图.已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截.剩下部分母线长的最大值为a.最小值为b.那么圆柱被截后剩下部分的体积是 . 解析:两个相同的几何体 倒立一个.对应合缝.恰好形成一个圆柱体. 答案:πr2(a+b) [例3] (2003年北京西城区一模题)如图.正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2.P是侧棱AA1上任意一点. (1)求证:B1P不可能与平面ACC1A1垂直, (2)当BC1⊥B1P时.求线段AP的长,的条件下.求二面角C-B1P-C1的大小. (1)证明:连结B1P.假设B1P⊥平面ACC1A1.则B1P⊥A1C1. 由于三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱. ∴AA1⊥A1C1. ∴A1C1⊥侧面ABB1A1. ∴A1C1⊥A1B1. 即∠B1A1C1=90°. 这与△A1B1C1是等边三角形矛盾. ∴B1P不可能与平面ACC1A1垂直. (2)解:取A1B1的中点D.连结C1D.BD.BC1. 则C1D⊥A1B1.又∵AA1⊥平面A1B1C1. ∴AA1⊥C1D.∴C1D⊥平面ABB1A1. ∴BD是BC1在平面ABB1A1上的射影. ∵BC1⊥B1P.∴BD⊥B1P.∴∠B1BD=90°-∠BB1P=∠A1B1P. 又A1B1=B1B=2.∴△BB1D≌△B1A1P.A1P=B1D=1.∴AP=1. (3)解:连结B1C.交BC1于点O.则BC1⊥B1C.又BC1⊥B1P.∴BC1⊥平面B1CP. 过O在平面CPB1上作OE⊥B1P.交B1P于点E.连结C1E.则B1P⊥C1E. ∴∠OEC1是二面角C-B1P-C1的平面角. 由于CP=B1P=.O为B1C的中点.连结OP. ∴PO⊥B1C.OP·OB1=OE·B1P.∴OE=.∴tan∠OEC1==. ∴∠OEC1=arctan. 故二面角C-B1P-C1的大小为arctan.

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