摘要：证明三点均在两个平面的交线上.可以推证三点共线,求异面直线所成的角.一般先取一个特殊点作它们的平行线.作出所求的角或其补角.再解三角形. ●教师下载中心 教学点睛 首先要使学生掌握本节的重点内容:平面的基本性质.异面直线的定义及判断.异面直线所成的角.其次结合例题讲清求异面直线所成的角的方法步骤. 拓展题例 [例1] 设异面直线a与b所成的角为50°.O为空间一定点.试讨论.过点O与a.b所成的角都是θ(0°≤θ≤90°)的直线l有且仅有几条? 解:过点O作a1∥a.b1∥b.则相交直线a1.b1确定一平面α.a1与b1夹角为50°或130°.设直线OA与a1.b1均为θ角.作AB⊥面α于点B.BC⊥a1于点C.BD⊥b1于点D.记∠AOB=θ1.∠BOC=θ2(θ2=25°或65°).则有cosθ=cosθ1·cosθ2.因为0°≤θ1≤90°.所以 0≤cosθ≤cosθ2. 当θ2=25°时.由0≤cosθ≤cos25°.得25°≤θ≤90°, 当θ2=65°时.由0≤cosθ≤cos65°.得65°≤θ≤90°. 故当θ<25°时.直线l不存在,当θ=25°时.直线l有且仅有1条, 当25°<θ<65°时.直线l有且仅有2条, 当θ=65°时.直线l有且仅有3条, 当65°<θ<90°时.直线l有且仅有4条, 当θ=90°时.直线l有且仅有1条. 说明:异面直线所成的角就是选点.平移后的平面角.上述解答首先将问题转化为:求过点O与a1.b1均成θ角的直线的条数.进而通过讨论θ的范围去确定直线l的条数. [例2] 已知空间四边形ABCD.E.H分别是AB.AD的中点.F.G分别是边BC.DC的三等分点.求证: (1)对角线AC.BD是异面直线, (2)直线EF和HG必交于一点.且交点在AC上. 证明:(1)假设对角线AC.BD在同一平面α内.则A.B.C.D都在平面α内.这与ABCD是空间四边形矛盾.∴AC.BD是异面直线. (2)∵E.H分别是AB.AD的中点. ∴EHBD. 又F.G分别是BC.DC的三等分点. ∴FGBD.∴EH∥FG.且EH＜FG. ∴FE与GH相交. 设交点为O.又O在GH上.GH在平面ADC内.∴O在平面ADC内. 同理.O在平面ABC内. 从而O在平面ADC与平面ABC的交线AC上.

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