摘要：正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为1.侧棱长为.则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是 . 解析:连结FE1.FD.则由正六棱柱相关性质可得FE1∥BC1. 在△EFD中.EF=ED=1.∠FED=120°. ∴FD==. 在△EFE1和△EE1D中.易得E1F=E1D==.∴△E1FD是等边三角形. ∠FE1D=60°.而∠FE1D即为E1D与BC1所成的角. 答案:60° 说明:本题主要考查正六棱柱的性质及异面直线所成角的求法. ●典例剖析 [例1] 如下图.四面体ABCD中.E.G分别为BC.AB的中点.F在CD上.H在AD上.且有DF∶FC=2∶3.DH∶HA=2∶3. 求证:EF.GH.BD交于一点. 证明:连结GE.HF. ∵E.G分别为BC.AB的中点. ∴GE∥AC. 又∵DF∶FC=2∶3.DH∶HA=2∶3. ∴HF∥AC.∴GE∥HF. 故G.E.F.H四点共面. 又∵EF与GH不能平行. ∴EF与GH相交.设交点为O. 则O∈面ABD.O∈面BCD.而平面ABD∩平面BCD=BD.∴EF.GH.BD交于一点. 评述:证明线共点.常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法.而第三条直线又往往是两平面的交线. [例2] A是△BCD平面外的一点.E.F分别是BC.AD的中点. (1)求证:直线EF与BD是异面直线, (2)若AC⊥BD.AC=BD.求EF与BD所成的角. (1)证明:用反证法.设EF与BD不是异面直线.则EF与BD共面.从而DF与BE共面.即AD与BC共面.所以A.B.C.D在同一平面内.这与A是△BCD平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线. (2)解:取CD的中点G.连结EG.FG.则EG∥BD.所以相交直线EF与EG所成的锐角或直角即为异面直线EF与BD所成的角.在Rt△EGF中.求得∠FEG=45°.即异面直线EF与BD所成的角为45°. 特别提示 ①证明两条直线是异面直线常用反证法,②求两条异面直线所成的角.首先要判断两条异面直线是否垂直.若垂直.则它们所成的角为90°,若不垂直.则利用平移法求角.一般的步骤是“作(找)-证-算 .注意.异面直线所成角的范围是(0.］. [例3] 长方体ABCD-A1B1C1D1中.已知AB=a.BC=b.AA1=c.且a>b.求: (1)下列异面直线之间的距离:AB与CC1,AB与A1C1,AB与B1C. (2)异面直线D1B与AC所成角的余弦值. (1)解:BC为异面直线AB与CC1的公垂线段.故AB与CC1的距离为b. AA1为异面直线AB与A1C1的公垂线段.故AB与A1C1的距离为c.过B作BE⊥B1C.垂足为E.则BE为异面直线AB与B1C的公垂线.BE==.即AB与B1C的距离为. (2)解法一:连结BD交AC于点O.取DD1的中点F.连结OF.AF.则OF∥D1B.∴∠AOF就是异面直线D1B与AC所成的角. ∵AO=.OF= BD1=.AF=. ∴在△AOF中.cos∠AOF==. 解法二:如下图.在原长方体的右侧补上一个同样的长方体.连结BG.D1G.则AC∥BG.∴∠D1BG为D1B与AC所成的角. BD1=.BG=.D1G=. 在△D1BG中.cos∠D1BG==-.故所求的余弦值为. 深化拓展 利用中位线平移和利用补形平移是处理长方体中异面直线所成角的重要方法. ●闯关训练 夯实基础

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