摘要：已知椭圆具有性质:若M.N是椭圆C上关于原点对称的两个点.点P是椭圆上任意一点.当直线PM.PN的斜率都存在.并记为kPM.kPN时.那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线C′:-=1写出具有类似特性的性质.并加以证明. 解:类似的性质为若MN是双曲线-=1上关于原点对称的两个点.点P是双曲线上任意一点.当直线PM.PN的斜率都存在.并记为kPM.kPN时.那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值. 设点M的坐标为(m.n). 则点N的坐标为(-m.-n). 其中-=1. 又设点P的坐标为(x.y). 由kPM=.kPN=. 得kPM·kPN=·=. 将y2=x2-b2.n2=m2-b2.代入得 kPM·kPN=. 评注:本题主要考查椭圆.双曲线的基本性质.考查类比.归纳.探索问题的能力.它是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目.对思维能力有较高的要求. ●思悟小结 本节重点是求双曲线方程及由双曲线方程求基本量.难点是双曲线的灵活运用.解决本节问题应注意以下几点:

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