摘要：若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点.则k的取值范围是 . 解析:利用数形结合. 答案:-1＜k≤1或k=- ●典例剖析 [例1] 已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P.Q两点.且OP⊥OQ(O为坐标原点).求该圆的圆心坐标及半径. 剖析:由于OP⊥OQ.所以kOP·kOQ=-1.问题可解. 解:将x=3-2y代入方程x2+y2+x-6y+m=0.得5y2-20y+12+m=0. 设P(x1.y1).Q(x2.y2).则y1.y2满足条件 y1+y2=4.y1y2=. ∵OP⊥OQ.∴x1x2+y1y2=0. 而x1=3-2y1.x2=3-2y2. ∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2. ∴m=3.此时Δ＞0.圆心坐标为(-.3).半径r=. 评述:在解答中.我们采用了对直线与圆的交点“设而不求 的解法技巧.但必须注意这样的交点是否存在.这可由判别式大于零帮助考虑. [例2] 求经过两圆(x+3)2+y2=13和x2+(y+3)2=37的交点.且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程. 剖析:根据已知.可通过解方程组 得圆上两点. (x+3)2+y2=13. x2+(y+3)2=37 由圆心在直线x-y-4=0上.三个独立条件.用待定系数法求出圆的方程, 也可根据已知.设所求圆的方程为(x+3)2+y2-13+λ［x2+(y+3)2-37］=0.再由圆心在直线x-y-4=0上.定出参数λ.得圆方程. 解:因为所求的圆经过两圆(x+3)2+y2=13和x2+(y+3)2=37的交点. 所以设所求圆的方程为(x+3)2+y2-13+λ［x2+(y+3)2-37］=0. 展开.配方.整理.得(x+)2+(y+)2=+. 圆心为(-.-).代入方程x-y-4=0.得λ=-7. 故所求圆的方程为(x+)2+(y+)2= . 评述:圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0.圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0.若圆C1.C2相交.那么过两圆公共点的圆系方程为(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R且λ≠-1).它表示除圆C2以外的所有经过两圆C1.C2公共点的圆. 特别提示 在过两圆公共点的图象方程中.若λ=-1.可得两圆公共弦所在的直线方程. [例3] 已知圆C:(x-1)2+(y-2)2＝25.直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R). (1)证明:不论m取什么实数.直线l与圆恒交于两点, (2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程. 剖析:直线过定点.而该定点在圆内.此题便可解得. (1)证明:l的方程(x+y-4)+m(2x+y-7)=0. 得 ∵m∈R.∴ 2x+y-7=0. x=3. x+y-4=0. y=1. 即l恒过定点A(3.1). ∵圆心C(1.2).|AC|＝＜5. ∴点A在圆C内.从而直线l恒与圆C相交于两点. (2)解:弦长最小时.l⊥AC.由kAC＝-. ∴l的方程为2x-y-5=0. 评述:若定点A在圆外.要使直线与圆相交则需要什么条件呢? 思考讨论 求直线过定点.你还有别的办法吗? ●闯关训练 夯实基础

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