摘要：对称问题除了用中点坐标公式及斜率关系来求以外.还可以用求轨迹的思想--代入法来求解. 拓展题例 [例1] 已知两点A(2.3).B(4.1).直线l:x+2y-2=0.在直线l上求一点P. (1)使|PA|+|PB|最小, (2)使|PA|-|PB|最大. 解:(1)可判断A.B在直线l的同侧.设A点关于l的对称点A1的坐标为(x1.y1). 则有 +2·-2=0. ·(-)=-1. 解得 x1=-. y1=-. 由两点式求得直线A1B的方程为y=(x-4)+1.直线A1B与l的交点可求得为P(.-). 由平面几何知识可知|PA|+|PB|最小. (2)由两点式求得直线AB的方程为y-1=-(x-4).即x+y-5=0. 直线AB与l的交点可求得为P.它使|PA|-|PB|最大. [例2] 直线l经过点(1.1).若抛物线y2=x上存在两点关于直线l对称.求直线l斜率的取值范围. 解法一:设直线l的方程为y-1=k(x-1).弦的两个端点分别是A(x1.y1).B(x2.y2).代入抛物线方程并作差得(y1+y2)(y1-y2)=x1-x2. ∵kAB==-. ∴y1+y2=-k.注意到AB的中点在直线l:y-1=k(x-1)上.∴x1+x2=1-. ∴y12+y22=x1+x2=1-. 由y12+y22>.得1-><0-2<k<0. 则 解法二:设抛物线上关于直线l:y-1=k(x-1)对称的两点为(y12.y1).(y22.y2). =- -1=k(-1) y1+y2=-k. y1y2=+-. ∴y1.y2是方程y2+ky++-=0的两根. 由Δ=k2-4(+-)>0 <0 -2<k<0.

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