摘要：若直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a-1)y+(a2-1)=0平行且不重合.则a的值是 . 解析:利用两直线平行的条件. 答案:-1 ●典例剖析 [例1] 等腰三角形一腰所在直线l1的方程是x-2y-2=0.底边所在直线l2的方程是x+y-1=0.点在另一腰上.求该腰所在直线l3的方程. 剖析:依到角公式求出l3的斜率.再用点斜式可求l3的方程. 解:设l1.l2.l3的斜率分别为k1.k2.k3.l1到l2的角是θ1.l2到l3的角是θ2.则k1=.k2=-1.tanθ1===-3. ∵l1.l2.l3所围成的三角形是等腰三角形. ∴θ1=θ2.tanθ1=tanθ2=-3. 即=-3.=-3.解得k3=2. 又∵直线l3经过点. ∴直线l3的方程为y=2(x+2). 即2x-y+4=0. 评述:本题根据条件作出合理的假设θ1=θ2.而后利用直线到直线所成角的公式.最后利用点斜式.求出l3的方程. 思考讨论 用夹角公式会产生什么问题.怎样去掉增解? [例2] 已知两直线l1:x+m2y+6＝0.l2:(m-2)x+3my+2m＝0.当m为何值时.l1与l2重合? 剖析:依据两直线位置关系判断方法便可解决. 解:当m=0时.l1:x+6＝0.l2:x＝0. ∴l1∥l2. 当m=2时.l1:x+4y+6＝0.l2:3y+2＝0. ∴l1与l2相交. 当m≠0且m≠2时.由＝得m=-1或m=3.由＝得m＝3. 故(1)当m≠-1.m≠3且m≠0时.l1与l2相交, (2)当m＝-1或m＝0时.l1∥l2, (3)当m＝3时.l1与l2重合. 评述:对这类问题要从有斜率.没斜率两方面进行考虑. 深化拓展 不讨论有斜率.没斜率能直接求解吗? [例3] 已知点P.求: (1)过P点与原点距离为2的直线l的方程, (2)过P点与原点距离最大的直线l的方程.最大距离是多少? (3)是否存在过P点与原点距离为6的直线?若存在.求出方程,若不存在.请说明理由. 剖析:已知直线过定点求方程.首先想到的是求斜率或设方程的斜截式.但不要忘记考察斜率不存在的直线是否满足题意.若满足.可先把它求出.然后再考虑斜率存在的一般情况.图形中量的最值问题往往可由几何原理作依据求得解决. 解:(1)过P点的直线l与原点距离为2.而P点坐标为(2.1).可见.过P(2.1)垂直于x轴的直线满足条件. 此时l的斜率不存在.其方程为x=2. 若斜率存在.设l的方程为y+1=k(x-2).即kx-y-2k-1=0. 由已知.得=2.解之得k=. 此时l的方程为3x-4y-10=0.综上.可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0. (2)作图可证过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线.由l⊥OP.得kl·kOP =-1. 所以kl =-=2.由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2).即2x-y-5=0. 即直线2x-y-5=0是过P点且与原点O距离最大的直线.最大距离为=. 可知.过P点不存在到原点距离超过的直线.因此不存在过P点且到原点距离为6的直线. 评述:第(3)问是判断存在性问题.通常的解决方法是先假设判断对象存在.令其满足应符合的条件.若有解.则存在.并求得,若无解.则不存在.判断无解的过程就是结论的理由.如(3)解法二:由于斜率不存在且过P点的直线到原点距离不是6.因此.设过P点到原点距离为6的直线的斜率存在且方程为y+1=k(x-2).即kx-y-2k-1=0.原点O到它的距离d==6.即32k2-4k+35=0.因Δ=16-4×32×35<0.故方程无解.所以不存在这样的直线. ●闯关训练 夯实基础

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