摘要：加强利用均值不等式及其他方法求最值的练习.在求最大(小)值时.有三个问题必须注意:第一.注意不等式成立的充分条件.即x＞0.y＞0(x+y≥2),第二.注意一定要出现积为定值或和为定值,第三.要注意等号成立的条件.若等号不成立.利用均值不等式x+y≥2不能求出最大(小)值. 拓展题例 [例1] 设f(x)=ax2+bx+c.若f(1)=.问是否存在a.b.c∈R.使得不等式x2+≤f(x)≤2x2+2x+对一切实数x都成立.证明你的结论. 解:由f(1)=.得a+b+c=.令x2+=2x2+2x+x=-1. 由f(x)≤2x2+2x+推得f(-1)≤. 由f(x)≥x2+推得f(-1)≥. ∴f(-1)=. ∴a-b+c=.故a+c=且b=1. ∴f(x)=ax2+x+-a. 依题意ax2+x+-a≥x2+对一切x∈R都成立. ∴a≠1且Δ=1-4(a-1)(2-a)≤0. 由a-1＞0得a=. ∴f(x)=x2+x+1. 证明如下:x2+x+1-2x2-2x-=-x2-x-=-(x+1)2≤0. ∴x2+x+1≤2x2+2x+对x∈R都成立. ∴存在实数a=.b=1.c=1.使得不等式x2+≤f(x)≤2x2+2x+对一切x∈R都成立. [例2] 已知二次函数y=ax2+2bx+c.其中a＞b＞c且a+b+c=0. (1)求证:此函数的图象与x轴交于相异的两个点. (2)设函数图象截x轴所得线段的长为l.求证:＜l＜2. 证明:(1)由a+b+c=0得b=-(a+c). Δ=(2b)2-4ac=4(a+c)2-4ac =4(a2+ac+c2)=4［(a+)2+c2］＞0. 故此函数图象与x轴交于相异的两点. (2)∵a+b+c=0且a＞b＞c. ∴a＞0.c＜0. 由a＞b得a＞-(a+c). ∴＞-2. 由b＞c得-(a+c)＞c. ∴＜-. ∴-2＜＜-. l=|x1-x2|=. 由二次函数的性质知l∈(.2).

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