摘要：指数.对数不等式能利用单调性求解. 拓展题例 [例1] 设x1.x2.y1.y2是实数.且满足x12+x22≤1.证明不等式(x1y1+x2y2-1)2≥(x12+x22-1)(y12+y22-1). 分析:要证原不等式成立.也就是证(x1y1+x2y2-1)2-(x12+x22-1)(y12+y22-1)≥0. 证明:(1)当x12+x22=1时.原不等式成立. (2)当x12+x22＜1时.联想根的判别式.可构造函数f(x)=(x12+x22-1)x-2(x1y1+x2y2-1)x+(y12+y22-1).其根的判别式Δ=4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1). 由题意x12+x22＜1.函数f(x)的图象开口向下. 又∵f(1)=x12+x22-2x1y1-2x2y2+y12+y22=(x1-y1)2+(x2-y2)2≥0. 因此抛物线与x轴必有公共点. ∴Δ≥0. ∴4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1)≥0. 即(x1y1+x2y2-1)2≥(x12+x22-1)(y12+y22-1).

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