摘要：若a＞b＞c.则+ . 解析:a＞b＞c.(+)(a-c)=(+)［(a-b)+(b-c)］ ≥2·2=4. ∴+≥＞. 答案:＞ ●典例剖析 [例1] 设实数x.y满足y+x2＝0.0＜a＜1.求证:loga(ax+ay)＜loga2+. 剖析:不等式左端含x.y.而右端不含x.y.故从左向右变形时应消去x.y. 证明:∵ax＞0.ay＞0. ∴ax+ay≥2＝2. ∵x-x2＝-(x-)2≤.0＜a＜1. ∴ax+ay≥2＝2a. ∴loga(ax+ay)＜loga2a＝loga2+. 评述:本题的证题思路可由分析法获得.要证原不等式成立.只要证ax+ay≥2·a即可． [例2] 已知a.b.c∈R+.且a+b+c=1.求证: (1+a)(1+b)(1+c)≥8(1-a)(1-b)(1-c). 剖析:在条件“a+b+c=1 的作用下.将不等式的“真面目 隐含了.给证明不等式带来困难.若用“a+b+c 换成“1 .则还原出原不等式的“真面目 .从而抓住实质.解决问题. 证明:∵a.b.c∈R+且a+b+c=1. ∴要证原不等式成立. 即证［(a+b+c)+a］·［(a+b+c)+b］［(a+b+c)+c］≥8［(a+b+c)-a］·［(a+b+c)-b］·［(a+b+c)-c］. 也就是证［(a+b)+(c+a)］［(a+b)+(b+c)］·［(c+a)+(b+c)］≥8(b+c)(c+a)(a+b). ① ∵(a+b)+(b+c)≥2＞0. (b+c)+(c+a)≥2＞0. (c+a)+(a+b)≥2＞0. 三式相乘得①式成立. 故原不等式得证. [例3] 已知a＞1.n≥2.n∈N*. 求证:-1＜. 证法一:要证-1＜. 即证a＜(+1)n. 令a-1=t＞0.则a=t+1. 也就是证t+1＜(1+)n. ∵(1+)n=1+C+-+C()n＞1+t. 即-1＜成立. 证法二:设a=xn.x＞1. 于是只要证＞x-1. 即证＞n.联想到等比数列前n项和1+x+-+xn-1=. ① 倒序xn-1+xn-2+-+1=. ② ①+②得2·=(1+xn-1)+(x+xn-2)+-+(xn-1+1) ＞2+2+-+2＞2n. ∴＞n. 思考讨论 本不等式是与自然数有关的命题.用数学归纳法可以证吗?读者可尝试一下. ●闯关训练 夯实基础

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