摘要：已知点A.若向量与a=(2.3)同向.||=2.则点B的坐标为 . 解析:设A点坐标为(xA.yA).B点坐标为(xB.yB). ∵与a同向.∴可设=λa=(2λ.3λ)(λ＞0). ∴||==2.∴λ=2. 则=(xB-xA.yB-yA)=(4.6). ∴∵∴ ∴B点坐标为(5.4). 答案:(5.4) (文)已知点A和向量a=(2.3).若=3a.则点B的坐标为 . 解析:设B点坐标为(xB.yB). 则=(xB+1.yB+5)=3a=(6.9). ∴∴ ∴B(5.4). 答案:(5.4) ●典例剖析 [例1] 判断下列各命题正确与否: (1)若a≠0.a·b=a·c.则b=c, (2)若a·b=a·c.则b≠c当且仅当a=0时成立, (3)(a·b)c=a(b·c)对任意向量a.b.c都成立, (4)对任一向量a.有a2=|a|2. 剖析:可由数量积的定义判断.把a2转化成a·a=|a|2可判断. 解:(1)a·b=a·c.∴|a||b|cosα=|a||c|cosβ(其中α.β分别为a与b.a与c的夹角).∵|a|≠0.∴|b|cosα=|c|cosβ. ∵cosα与cosβ不一定相等.∴|b|与|c|不一定相等.∴b与c也不一定相等.∴(1)不正确. (2)若a·b=a·c.则|a||b|cosα=|a||c|cosβ(α.β为a与b.a与c的夹角). ∴|a|(|b|cosα-|c|cosβ)=0. ∴|a|=0或|b|cosα=|c|cosβ. 当b≠c时.|b|cosα与|c|cosβ可能相等. ∴(2)不正确. (3)(a·b)c=(|a||b|cosα)c. a(b·c)=a|b||c|cosθ(其中α.θ分别为a与b.b与c的夹角). (a·b)c是与c共线的向量. a(b·c)是与a共线的向量. ∴正确. 评述:判断上述问题的关键是要掌握向量的数量积的含义.向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律. [例2] 平面内有向量=(1.7).=(5.1).=(2.1).点X为直线OP上的一个动点. (1)当·取最小值时.求的坐标, (2)当点X满足(1)的条件和结论时.求cos∠AXB的值. 剖析:因为点X在直线OP上.向量与共线.可以得到关于坐标的一个关系式.再根据·的最小值.求得的坐标.而cos∠AXB是与夹角的余弦.利用数量积的知识易解决. 解:(1)设=(x.y). ∵点X在直线OP上.∴向量与共线. 又=(2.1).∴x-2y=0.即x=2y. ∴=(2y.y).又=-.=(1.7). ∴=(1-2y.7-y). 同样=-=(5-2y.1-y). 于是·=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5y2-20y+12=5(y-2)2-8. ∴当y=2时.·有最小值-8.此时=(4.2). (2)当=(4.2).即y=2时.有=.=. ∴||=.||=. ∴cos∠AXB==-. 评述:(1)中最值问题不少都转化为函数最值问题解决.因此解题关键在于寻找变量.以构造函数.而(2)中即为数量积定义的应用. [例3] 已知向量..满足++ =0.||=||=||=1. 求证:△P1P2P3是正三角形. 剖析:由||=||=||=1知O是△P1P2P3的外接圆的圆心.要证△P1P2P3是正三角形.只需证∠P1OP2=∠P2OP3=∠P3OP1即可.即需求与.与.与的夹角.由++=0变形可出现数量积.进而求夹角. 证明:∵++=0.∴+=-.∴|+|=|-|. ∴||2+||2+2·=||2. 又∵||=||=||=1. ∴·=-. ∴||||cos∠P1OP2=-. 即∠P1OP2=120°. 同理∠P1OP3=∠P2OP3=120°. ∴△P1P2P3为等边三角形. 评述:解本题的关键是由++=0转化出现向量的数量积.进而求夹角. 深化拓展 本题也可用如下方法证明:以O点为坐标原点建立直角坐标系.设P1(x1.y1).P2(x2.y2).P3(x3.y3). 则=(x1.y1).=(x2.y2).=(x3.y3). 由++=0. 得∴ 由||=||=||=1.得x12+y12=x22+y22=x32+y32=1. ∴2+2(x1x2+y1y2)=1. ∴||= = ==. 同理||=.||=. ∴△P1P2P3为正三角形. ●闯关训练 夯实基础

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