摘要：下表给出一个“等差数阵 : 4 7 ( ) ( ) ( ) - a1j - 7 12 ( ) ( ) ( ) - a2j - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - a3j - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - a4j - - - - - - - - - ai1 ai2 ai3 ai4 ai5 - aij - - - - - - - - - 其中每行.每列都是等差数列.aij表示位于第i行第j列的数. (1)写出a45的值, (2)写出aij的计算公式, (3)证明:正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积. (1)解:a45=49. (2)解:该等差数阵的第一行是首项为4.公差为3的等差数列:a1j=4+3(j-1). 第二行是首项为7.公差为5的等差数列:a2j=7+5(j-1). -- 第i行是首项为4+3(i-1).公差为2i+1的等差数列. 因此aij=4+3(i-1)+(2i+1)(j-1)=2ij+i+j=i(2j+1)+j. (3)证明:必要性:若N在该等差数阵中.则存在正整数i.j使得N=i(2j+1)+j. 从而2N+1=2i(2j+1)+2j+1=(2i+1)(2j+1). 即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积. 充分性:若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.由于2N+1是奇数.则它必为两个不是1的奇数之积.即存在正整数k.l.使得2N+1=(2k+1)(2l+1). 从而N=k(2l+1)+l=akl. 可见N在该等差数阵中. 综上所述.正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积. ●思悟小结

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