摘要：讨论复合函数单调性的根据:设y=f(u).u=g(x).x∈［a.b］.u∈［m.n］都是单调函数.则y=f［g(x)］在［a.b］上也是单调函数. (1)若y=f(u)是［m.n］上的增函数.则y=f［g(x)］与u=g(x)的增减性相同, (2)若y=f(u)是［m.n］上的减函数.则y=f［g(x)］的增减性与u=g(x)的增减性相反. 拓展题例 [例1] 设函数f(x)＝(a＞b＞0).求f(x)的单调区间.并证明f(x)在其单调区间上的单调性. 解:函数f(x)＝的定义域为(-∞.-b)∪(-b.+∞). 任取x1.x2∈(-∞.-b)且x1＜x2. 则f(x1)-f(x2)＝-＝. ∵a-b＞0.x2-x1＞0.(x1+b)(x2+b)＞0. ∴f(x1)-f(x2)＞0. 即f(x)在(-∞.-b)上是减函数. 同理可证f(x)在(-b.+∞)上也是减函数. ∴函数f(x)=在(-∞.-b)与(-b.+∞)上均为减函数. [例2] 已知f(x)是定义在［-1.1］上的奇函数.且f(1)=1.若a.b∈［-1.1］.a+b≠0时.有＞0. 判断函数f(x)在［-1.1］上是增函数还是减函数.并证明你的结论. 解:任取x1.x2∈［-1.1］.且x1＜x2.则-x2∈［-1.1］.又f(x)是奇函数.于是 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2) =·(x1-x2). 据已知＞0.x1-x2＜0. ∴f(x1)-f(x2)＜0.即f(x1)＜f(x2). ∴f(x)在［-1.1］上是增函数.

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