摘要：某校准备参加2004年全国高中数学联赛.把10个名额分配给高三年级8个班.每班至少1人.不同的分配方案有 种. 解析:把10个名额分成8份.每份至少一个名额即可.用隔板法:C=C=36. 答案:36 ●典例剖析 [例1] 某外语组有9人.每人至少会英语和日语中的一门.其中7人会英语.3人会日语.从中选取会英语和日语的各一人.有多少种不同的选法? 解:由题意可知.只会英语的有6人.只会日语的有2人.英语和日语都会的有1人. 以只会英语的人数分类.C·C·C+C·C=20. [例2] 设集合A={1.2.3.-.10}. (1)设A的3个元素的子集的个数为n.求n的值, (2)设A的3个元素的子集中.3个元素的和分别为a1.a2.-.an.求a1+a2+a3+-+an的值. 解:(1)A的3元素子集的个数为n=C=120. (2)在A的3元素子集中.含数k(1≤k≤10)的集合个数有C个.因此a1+a2+-+an= C×=1980. 评述:在求从n个数中取出m(m≤n)个数的所有组合中各组合中数字的和时.一般先求出含每个数字的组合的个数.含每个数字的个数一般都相等.故每个数字之和与个数之积便是所求结果. [例3] 从1.2.-.30这30个自然数中.每次取不同的三个数.使这三个数的和是3的倍数的取法有多少种? 解:令A={1.4.7.10.-.28}.B={2.5.8.11.-29}.C={3.6.9.-.30}组成三类数集.有以下四类符合题意:①A.B.C中各取一个数.有CCC种,②仅在A中取3个数.有C种,③仅在B中取3个数.有C种,④仅在C中取3个数.有C种.故由加法原理得共有C·C·C+3C=1360种. 评述:按元素的性质分类是处理带限制条件的组合问题的常用方法.对于某几个数的和能被某数整除一类的问题.通常是将整数分类.凡余数相同者归同一类. 思考讨论 讨论下面的问题: 用0.1.2.3.4.5这六个数字可以组成没有重复数字的能被25整除的四位数多少个? 提示:能被25整除的数的后两位是25或50.后两位是50的数有A个.后两位是25的数有3×3=9个.所以能被25整除的四位数的个数为A+9=21. [例4] 如图.从一个3×4的方格中的一个顶点A到对顶顶点B的最短路线有几条? 解:从A到B的最短路线.均需走7步.包括横向的4步和纵向的3步.于是我们只要确定第1.2.-.7步哪些是横向的.哪些是纵向的就可以了.实际只要确定哪几步是横向走.所以每一条从A到B的最短路线对应着从第1.2.-.7步取出4步的一个组合.因此从A到B的最短路线共有C=C=35条. 深化拓展

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