摘要： = . 解析:原式==. 答案: 思考讨论 求数列极限时.如是不定型(,,∞-∞等).应先变形.再求极限.一般应如何变形? ●典例剖析 [例1] 求下列极限: (1);(2) (-n); (3)(++-+). 剖析:(1)因为分子分母都无极限.故不能直接运用商的极限运算法则.可通过变形分子分母同除以n2后再求极限,(2)因与n都没有极限.可先分子有理化再求极限,(3)因为极限的运算法则只适用于有限个数列.需先求和再求极限. 解:(1)==. (2) (-n)= ==. (3)原式===(1+)=1. 评述:对于(1)要避免下面两种错误:①原式===1,②∵(2n 2+n+7), (5n2+7)不存在.∴原式无极限.对于(2)要避免出现下面两种错误: ①(-n)= -n=∞-∞=0;②原式=-n=∞-∞不存在.对于(3)要避免出现原式=++-+=0+0+-+0=0这样的错误. [例2] 已知数列{an}是由正数构成的数列.a1＝3.且满足lgan＝lgan-1+lgc.其中n是大于1的整数.c是正数． (1)求数列{an}的通项公式及前n和Sn, (2)求的值． 解:(1)由已知得an＝c·an-1, ∴{an}是以a1＝3.公比为c的等比数列.则an＝3·cn-1. ∴Sn＝ (2) ＝. ①当c=2时.原式＝-; ②当c＞2时.原式＝＝-; ③当0＜c＜2时.原式=＝. 评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用. [例3] 已知直线l:x-ny=0(n∈N *),圆M:(x+1)2+(y+1)2=1,抛物线:y=(x-1)2,又l与M交于点A.B.l与交于点C.D.求. 剖析:要求的值.必须先求它与n的关系. 解:设圆心M到直线l的距离为d,则d2=. 又r=1,∴|AB|2=4(1-d2)=. 设点C(x1,y1), D(x2,y2). 由nx2-(2n+1)x+n=0, ∴x1+x2=, x1·x2=1. ∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=,(y1-y2)2=(-)2=, ∴|CD|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2 =(4n+1)(n2+1). ∴===2. 评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题.要求极限.需先求,这就要求掌握求弦长的方法. [例4] 若数列{an}的首项为a1=1,且对任意n∈N*,an与an+1恰为方程x2-bnx+cn=0的两根,其中0＜|c|＜1,当 (b1+b2+-+bn)≤3,求c的取值范围. 解:首先,由题意对任意n∈N*,an·an+1=cn恒成立. ∴===c.又a1·a2=a2=c. ∴a1,a3,a5,-,a2n-1,-是首项为1,公比为c的等比数列,a2,a4,a6,-,a2n,-是首项为c,公比为c的等比数列.其次,由于对任意n∈N*,an+an+1=bn恒成立. ∴==c.又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c, ∴b1,b3,b5,-,b2n-1,-是首项为1+c,公比为c的等比数列,b2,b4,b6,-,b2n,-是首项为2c,公比为c的等比数列, ∴ (b1+b2+b3+-+bn)= (b1+b3+b5+-)+ (b2+b4+-)=+≤3. 解得c≤或c＞1.∵0＜|c|＜1,∴0＜c≤或-1＜c＜0. 故c的取值范围是∪(0,］. 评述:本题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于c的不等式,即将{bn}的各项和表示为关于c的解析式,显然“桥梁 应是一元二次方程根与系数的关系,故以根与系数的关系为突破口. ●闯关训练 夯实基础

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