摘要：2．由于本节内容与代数.几何联系比较紧.故读者需对解斜三角形.解析几何中的圆锥曲线等知识非常熟悉方可. 三 经典例题导讲 [例1]在ABC中.已知a2＝b2+bc+c2.则角A为( ) A． B． C． D． 或 错解:选A 错因:公式记不牢.误将余弦定理中的“减 记作“加 . 正解:∵a2＝b2+bc+c2＝b2+c2-2bc＝b2+c2-2bc·cos ∴∠A＝ 选 C. [例2]在△ABC中.已知 .试判别其形状. 错解:等腰三角形. 错因:忽视了两角互补.正弦值也相等的情形.直接由 得. .即 .则 .接着下结论.所求三角形为等腰三角形 正解:由 得. .即 则 或 .故三角形为直角三角形或等腰三角形. [例3]在 中 .试求 周长的最大值.并判断此时三角形的形状. 错解:由于题目中出现了角和对边.故使用余弦定理.进一步想使用不等式或二次函数求最值 错因:其实这种思路从表面上看是可行的.实际上处理过程中回遇到无法进行下去的困难. 正解:由正弦定理,得a=2sinB. a+b=2=4( )sin cos sin =sin75o= a+b=( )2 cos ≤( )2=8+4 . 当a=b时,三角形周长最大,最大值为8+4 + . 此时三角形为等腰三角形 [例4]在 中. .其内切圆面积为 .求 面积. 分析:题中涉及到内切圆.而内切圆直接与正弦定理联系起来了.同时正弦定理和余弦定理又由边联系起来了. 解:由已知,得内切圆半径为2 . 由余弦定理,得三角形三边分别为16,10,14. [例5]已知定点A(2,1)与定直线 :3x-y+5=0,点B在 上移动,点M在线段AB上,且分AB的比为2,求点M的轨迹方程. 分析:向量的坐标为用“数 的运算处理“形 的问题搭起了桥梁,形成了代数与几何联系的新纽带 . 解:设B(x0,y0),M(x,y) ∴ =, =(x0-x,y0-y),由题知 =2 ∴ 由于3x0-y0+5=0,∴3× - +5=0 化简得M的轨迹方程为9x-3y+5=0 [例6]过抛物线:y2=2px顶点O作两条互相垂直的弦OA.OB,求证:直线AB过一定点,并求出这一定点. 分析: 对于向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),有a//b x1y2-x2y1=0.可以用来处理解析几何中的三点共线与两直线平行问题. 证明:由题意知可设A点坐标为( ,t1),B点坐标为( ,t2) ∴ =( ,t1), =( ,t2), ∵OA⊥OB,∴ • =0 • +t1•t2=0 t1•t2=-4p2 ① 设直线AB过点M(a,b),则 =(a- ,b-t2), =( - ,t1-t2), 由于向量 与 是共线向量,∴(t1-t2)= (b-t2) 化简得2p=b(t1+t2) 显然当a=2p,b=0时等式对任意的成立 ∴直线AB过定点,且定点坐标为M 四 典型习题导练

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