摘要：[例1] 和 = 平行的单位向量是 , 错解:因为 的模等于5.所以与 平行的单位向量就是 .即 (.-) 错因:在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况. 正解:因为 的模等于5.所以与 平行的单位向量是 .即 点评:平行的情况有方向相同和方向相反两种.读者可以自己再求解“和 = 垂直的单位向量 .结果也应该是两个. [例2]已知A.若A.B.C是平行四边形的三个顶点.求第四个顶点D的坐标. 错解:设D的坐标为(x.y).则有x-2=-1-3.y-1=4-2 .即x=-2.y=3.故所求D的坐标为. 错因:思维定势.习惯上.我们认为平行四边形的四个顶点是按照ABCD的顺序.其实.在这个题目中.根本就没有指出四边形ABCD.因此.还需要分类讨论. 正解:设D的坐标为(x.y) 当四边形为平行四边形ABCD时.有x-2=-1-3.y-1= 4-2 .即x= -2.y= 3.解得D的坐标为, 当四边形为平行四边形ADBC时.有x-2=3-(-1).y-1= 2-4 .即x= 6.y= -1.解得D的坐标为, 当四边形为平行四边形ABDC时.有x-3=-1-2.y-2= 4-1 .即x= 0.y= 5.解得D的坐标为(0.5). 故第四个顶点D的坐标为. [例3]已知P1(3,2).P2(8.3).若点P在直线P1P2上.且满足|P1P|=2|PP2|.求点P的坐标. 错解:由|P1P|=2|PP2|得.点P 分P1P2所成的比为2.代入定比分点坐标公式得P( ) 错因:对于|P1P|=2|PP2|这个等式.它所包含的不仅是点P为 P1.P2 的内分点这一种情况.还有点P是 P1.P2的外分点.故须分情况讨论. 正解:当点P为 P1.P2 的内分点时.P 分P1P2所成的比为2.此时解得P( ), 当点P为 P1.P2 的外分点时.P 分P1P2所成的比为-2.此时解得P. 则所求点P的坐标为. 点评:在运用定比分点坐标公式时.要审清题意.注意内外分点的情况.也就是分类讨论的数学思想. [例4] 设向量 . . .则“ 是“ 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分析:根据向量的坐标运算和充要条件的意义进行演算即可． 解:若 .∵ .则 .代入坐标得: .即 且 ．消去 .得 , 反之.若 .则 且 .即 则 .∴ 故“ 是“ 的充要条件． 答案:C 点评:本题意在巩固向量平行的坐标表示． [例5]．已知 =. =(3.5).求实数x.y.使 =x +y ． 分析:根据向量坐标运算和待定系数法.用方程思想求解即可． 解:由题意有 x +y =x=． 又 =(3.5) ∴x-y=3且-x+3y=5 解之得 x=7 且y=4 点评:在向量的坐标运算中经常要用到解方程的方法． [例6]已知A. = . = - .求点C.D和向量 的坐标． 分析:待定系数法设定点C.D的坐标.再根据向量 . 和 关系进行坐标运算.用方程思想解之． 解:设C.D的坐标为 . .由题意得 =. = 又 = . = - ∴=- 即 =(1,2) ∴ 且 . 且 ∴ 且 .且 ∴点C.D和向量 的坐标分别为 小结:本题涉及到方程思想.对学生运算能力要求较高．

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