摘要：运用向量的数量积处理解几中有关长度.角度.垂直等问题 例2如图.点F.点P 在y轴上运动.点M在x轴上运动.点N为动点.且·＝0.+＝0. (1)求点N的轨迹C的方程, 的直线l与曲线C交于A.B两点.设点K.与的夹角为θ, 求证:0＜θ＜. [分析] (1)分别设出P.M与N点的坐标.将已知向量坐标化.然后利用向量数量积及向量相等知识找到等量关系. (2)利用向量的夹角公式可知,要证0＜θ＜,只要证. [解析] (1)y2＝4ax (2) 证明:设AB的方程为y＝k(x-a).代入y2＝4ax得 k2x2-2a(k2+2)x+k2a2＝0 设A(x1 , y1).B(x2 , y2).则 x1+x2＝ x1 x2＝a2 ∵＝(x1+a , y1), ＝(x2+a , y2) ∴·＝(x1+a)(x2+a)+y1 y2 ＝x1x2+a ( x1+x2)+a2+(-) · () ＝a2+a·+ a2-4a2＝＞0. ∵与的夹角为θ.与不共线. ∴θ≠0.∴cosθ＝＞0 , 即0＜θ＜. 变式:给定抛物线C:y2＝4x.F是C的焦点.过点F的直线l与C相交于A.B两点. (Ⅰ)设l的斜率为1.求与夹角的大小, [解答] ,直线l的斜率为1.所以l的方程为 y＝x-1,将y＝x-1代入方程y2=4x.并整理得x2-6x+1＝0 设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2＝6, x1x2＝1. 从而·＝x1x2+y1y2＝2x1x2-(x1+x2)+1＝-3 ︱︱·︱︱＝·＝, cos＝＝ 所以与夹角的大小为π-arcos.

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