摘要：12．如图.在正三棱柱ABC-A1B1C1中.AB＝AA1.点D是A1B1的中点.点E在A1C1上.且DE⊥AE. (1)证明:平面ADE⊥平面ACC1A1, (2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值． (1)[证明] 如图所示.由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质知AA1⊥平面A1B1C1.又DE⊂平面A1B1C1.所以DE⊥AA1.而DE⊥AE.AA1∩AE＝A. 所以DE⊥平面ACC1A1.又DE⊂平面ADE. 故平面ADE⊥平面ACC1A1. (2)[解] 解法一:如图所示.设F是AB的中点.连接DF.DC1.C1F.由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质及D是A1B1的中点知.A1B1⊥C1D.A1B1⊥DF. 又C1D∩DF＝D.所以A1B1⊥平面C1DF.而AB∥A1B1.所以AB⊥平面C1DF.又AB⊂平面ABC1.故平面ABC1⊥平面C1DF. 过点D作DH垂直C1F于H点.则DH⊥平面ABC1.连接AH.则∠HAD是直线AD和平面ABC1所成的角．由已知AB＝AA1. 不妨设AA1＝.则AB＝2.DF＝.DC1＝. C1F＝.AD＝＝. DH＝＝＝. 所以sin∠HAD＝＝. 即直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为. 解法二:如图所示.设O是AC的中点.以O为原点建立空间直角坐标系.不妨设AA1＝.则AB＝2.相关各点的坐标分别是 A.B.C1.D(.-.) 易知＝． 设平面ABC1的一个法向量为n＝(x.y.z).则有 解得x＝-y.z＝-y. 故可取n＝． 所以cos〈n·〉＝＝＝. 由此即知直线AD和平面ABC1所在的角的正弦值为. 亲爱的同学请写上你的学习心得

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