（2013•西城区一模）已知集合Sn={X|X=(x1，x2，…，xn)，xi∈N*，i=1，2，…，n} (n≥2)．对于A=（a₁，a₂，…，a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n）∈S_n，定义

AB

=(b1-a1，b2-a2，…，bn-an)；λ（a₁，a₂，…，a_n）=（λa₁，λa₂，…，λa_n）（λ∈R）；A与B之间的距离为d(A，B)=

n

i=1

|ai-bi|．
（Ⅰ）当n=5时，设A=（1，2，1，2，a₅），B=（2，4，2，1，3）．若d（A，B）=7，求a₅；
（Ⅱ）（ⅰ）证明：若A，B，C∈S_n，且?λ＞0，使

AB

=λ

BC

，则d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）；
（ⅱ）设A，B，C∈S_n，且d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）．是否一定?λ＞0，使

AB

=λ

BC

？说明理由；
（Ⅲ）记I=（1，1，…，1）∈S_n．若A，B∈S_n，且d（I，A）=d（I，B）=p，求d（A，B）的最大值．

（2013•西城区一模）已知集合Sn={X|X=(x1，x2，…，xn)，xi∈N*，i=1，2，…，n} (n≥2)．对于A=（a₁，a₂，…，a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n）∈S_n，定义

AB

=(b1-a1，b2-a2，…，bn-an)；λ（a₁，a₂，…，a_n）=（λa₁，λa₂，…，λa_n）（λ∈R）；A与B之间的距离为d(A，B)=

n

i=1

|ai-bi|．
（Ⅰ）当n=5时，设A=（1，2，1，2，5），B=（2，4，2，1，3），求d（A，B）；
（Ⅱ）证明：若A，B，C∈S_n，且?λ＞0，使

AB

=λ

BC

，则d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）；
（Ⅲ）记I=（1，1，…，1）∈S₂₀．若A，B∈S₂₀，且d（I，A）=d（I，B）=13，求d（A，B）的最大值．

（提示：请从以下两个不等式选择其中一个证明即可，若两题都答以第一题为准）
（1）设a_i∈R₊，b_i∈R₊，i=1，2，…n，且a₁+a₂+…a_n=b₁+b₂+…b_n=2，求证：

a 2 1

a1+b1

+

a 2 2

a2+b2

+…+

a 2 n

an+bn

≥1
（2）设a_i∈R₊（i=1，2，…n），求证：

(a1+a2+…an)2

2( a 2 1 + a 2 2 +… a 2 n )

≤

a1

a2+a3

+

a2

a3+a4

+…+

an

a1+a2

．

已知函数y=f（x），x∈D，y∈A；g（x）=x²-（4

7

tanθ）x+1，
（1）当f（x）=sin（x+φ）为偶函数时，求φ的值．
（2）当f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

sin（2x+

π

3

）时，g（x）在A上是单调递增函数，求θ的取值范围．
（3）当f（x）=a₁sin（ωx+φ₁）+a₂sin（ωx+φ₂）+…+a_nsin（ωx+φ_n）时，（其中a_i∈R，i=1，2，3…n，ω＞0），若f²（0）+f²（

π

2ω

）≠0，且函数f（x）的图象关于点（

π

2

，0）对称，在x=π处取得最小值，试探讨ω应该满足的条件．