摘要：21．解:(1)四边形是平行四边形． 理由:∵点分别是的中点. ∴． 同理可证．∴四边形是平行四边形． (2)方法一:当时.四边形是矩形． 证明:延长交于点．∵.. .∴．∴. ∴是等边三角形． ∵. ∴．∴． ∵. ∴.∴.∴即． 由(1)可知.四边形是平行四边形. ∴四边形是矩形．方法二:当时.四边形是矩形． 证明:延长交于点．由(1)可知.四边形是平行四边形． 当四边形是矩形时.．∵. .∴．∵. ∴．∴且是等边三角形． ∴.∴． 同方法一.可得.∴． 即当时.四边形是矩形．
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四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质，只要善于观察、乐于探索，我们会发现更多的结论．问题的提出：四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个小三角形，其中相对的两对三角形的面积之积有何关系？你能探索出结论吗？
(1)为了更直观的发现问题，我们不妨先在特殊的四边形——平行四边形中，研究这个问题：已知：在□ABCD中，O是对角线BD上任意一点(如图①)求证：S△OBC·S△OAD＝S△OAB·S△OCD．
(2)有了(1)中的探索过程作参照，你一定能类比出一般四边形(如图②)中，解决问题的办法了吧！填写结论并写出证明过程．
已知：在四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点．(如图②)
求证：________．
证明：
(3)在三角形中(如图③)，你能否归纳出类似的结论？若能，用文字叙述你归纳出的结论，并写出已知、求证和证明过程；若不能，说明理由．
如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请你添加一个条件，使四边形AECF为菱形，并说明理由．解：添加的一个条件可以是
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如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为 BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F． FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．．
（1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG．
（2） 当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由．
（3）设BE＝x，△DEF的面积为 y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时,y有最大值，最大值是多少？
【解】
如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请你添加一个条件，使四边形AECF为菱形，并说明理由．