摘要： 已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1 , (1)当函数y取得最大值时.求自变量x的集合, (2)该函数的图像可由y=sinx的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到? 解:(1)y=cos2x+sinx·cosx+1= (2cos2x-1)+ ++1 =cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+ =sin(2x+)+ 所以y取最大值时.只需2x+=+2kπ,.即 x=+kπ,. 所以当函数y取最大值时.自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z} (2)将函数y=sinx依次进行如下变换: (i)把函数y=sinx的图像向左平移.得到函数y=sin(x+)的图像, (ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍.得到函数y=sin(2x+)的图像, (iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍.得到函数y=sin(2x+)的图像, (iv)把得到的图像向上平移个单位长度.得到函数y=sin(2x+)+的图像. 综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像. 说明:本题属中档偏容易题.主要考查三角函数的图像和性质.这类题一般有两种解法:一是化成关于sinx,cosx的齐次式.降幂后最终化成y=sin (ωx+)+k的形式.二是化成某一个三角函数的二次三项式.本题(1)还可以解法如下:当cosx=0时.y=1,当cosx≠0时.y=+1=+1 化简得:2(y-1)tan2x-tanx+2y-3=0 ∵tanx∈R.∴△=3-8 ≥0,解之得:≤y≤ ∴ymax=.此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+,k∈Z}

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