摘要：20．如图4所示.在x轴上方的空间存在着垂直于纸面向里的匀强磁场.磁感应强度的大小为B.许多相同的离子.以相同的速率v.由O点沿纸面向各个方向(y>0)射入磁场区域.不计离子所受重力.不计离子间的相互影响.图中曲线表示离子运动的区域边界.其中边界与y轴交点为M.边界与x轴交点为N,且OM =ON =L.由此可判断 A. 这些离子是带负电的 B. 这些离子运动的轨道半径为L C. 这些离子的荷质比为 D. 当离子沿y轴正方向射入磁场时会经过N点
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在四棱锥
中，
平面
，底面为矩形，
.
（Ⅰ）当
时，求证：
；
（Ⅱ）若
边上有且只有一个点
，使得
，求此时二面角
的余弦值.
【解析】第一位女利用线面垂直的判定定理和性质定理得到。当a=1时，底面ABCD为正方形，
又因为
,
………………2分
又
，得证。
第二问，建立空间直角坐标系，则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分
设BQ=m，则Q(1，m,0)(0《m《a》
要使
，只要
所以
，即
………6分
由此可知时，存在点Q使得
当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得
由此知道a=2, 设平面POQ的法向量为
,所以
平面PAD的法向量
则
的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值为
解：(Ⅰ)当时，底面ABCD为正方形，
又因为,又
………………3分
(Ⅱ) 因为AB,AD,AP两两垂直，分别以它们所在直线为X轴、Y轴、Z轴建立坐标系，如图所示，
则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分
设BQ=m，则Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要
所以，即………6分
由此可知时，存在点Q使得
当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得由此知道a=2,
设平面POQ的法向量为
,所以 平面PAD的法向量
则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值为
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