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(本小题满分16分)
某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．
规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金
元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用
表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得）．
（1）求函数
的解析式及定义域；
（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？ 日净收入最多为多少元？
查看习题详情和答案>>已知递增等差数列
满足：
，且
成等比数列．
（1）求数列的通项公式
；
（2）若不等式
对任意
恒成立，试猜想出实数
的最小值，并证明．
【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的运用以及数列求和的运用。第一问中，利用设数列公差为
，
由题意可知
，即
，解得d，得到通项公式，第二问中，不等式等价于
，利用当
时，
；当
时，
；而
，所以猜想，的最小值为
然后加以证明即可。
解：（1）设数列公差为，由题意可知，即，
解得
或
（舍去）． …………3分
所以，
． …………6分
（2）不等式等价于，
当时，；当时，；
而，所以猜想，的最小值为． …………8分
下证不等式
对任意恒成立．
方法一：数学归纳法．
当时，
，成立．
假设当
时，不等式
成立，
当
时，
，
…………10分
只要证 
，只要证 
，
只要证 
，只要证 
，
只要证 
，显然成立．所以，对任意，不等式恒成立．…14分
方法二：单调性证明．
要证
只要证 
，
设数列
的通项公式
， …………10分
， …………12分
所以对
，都有
，可知数列为单调递减数列．
而
，所以
恒成立，
故的最小值为．
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一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．
（I）从袋中随机抽取一个球，将其编号记为
，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为
．求关于
的一元二次方程
有实根的概率；
（II）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n．若以
作为点P的坐标，求点P落在区域
内的概率．
【解析】第一问利用古典概型概率求解所有的基本事件数共12种，然后利用方程
有实根，则满足△=4a2-4b2≥0，即a2≥b2。，这样求得事件发生的基本事件数为6种，从而得到概率。第二问中，利用所有的基本事件数为16种。即基本事件（m，n）有：（1，1） （1,2） （1,3） （1,4）
（2,1） （2，2） （2,3） （2,4） （3,1）
（3,2） （3，3）
（3,4） （4,1） （4,2） （4,3）
（4，4）共16种。在求解满足的基本事件数为（1，1） （2,1） （2，2） （3,1） 共4种，结合古典概型求解得到概率。
（1）基本事件（a，b）有：（1,2） （1,3） （1,4） （2,1） （2,3） （2,4） （3,1） （3,2） （3,4） （4,1） （4,2） （4,3）共12种。
∵有实根， ∴△=4a2-4b2≥0，即a2≥b2。
记“有实根”为事件A，则A包含的事件有：（2,1） （3,1）
（3,2） （4,1） （4,2） （4,3） 共6种。
∴PA.= 
。 …………………6分
（2）基本事件（m，n）有：（1，1） （1,2） （1,3） （1,4） （2,1） （2，2） （2,3） （2,4） （3,1） （3,2） （3，3） （3,4） （4,1） （4,2） （4,3） （4，4）共16种。
记“点P落在区域内”为事件B，则B包含的事件有：
（1，1） （2,1） （2，2） （3,1） 共4种。∴PB.=
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已知函数
．（
）
（1）若
在区间
上单调递增，求实数
的取值范围；
（2）若在区间
上，函数的图象恒在曲线
下方，求的取值范围．
【解析】第一问中，首先利用在区间上单调递增，则
在区间上恒成立，然后分离参数法得到
，进而得到范围；第二问中，在区间上，函数的图象恒在曲线下方等价于
在区间上恒成立．然后求解得到。
解：（1）在区间上单调递增，
则在区间上恒成立． …………3分
即，而当
时，
，故
．
…………5分
所以
．
…………6分
（2）令
，定义域为
．
在区间上，函数的图象恒在曲线下方等价于在区间上恒成立．
∵
…………9分
① 若
，令
，得极值点
，
，
当
，即
时，在（
，+∞)上有
，此时
在区间
上是增函数，并且在该区间上有
，不合题意；
当
，即
时，同理可知，在区间上递增，
有
，也不合题意；
…………11分
② 若
，则有
，此时在区间上恒有
，从而在区间上是减函数；
要使在此区间上恒成立，只须满足
，
由此求得的范围是
． …………13分
综合①②可知，当
时，函数的图象恒在直线下方．
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某校从参加高三年级第一学期期末考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数，满分为100分），将数学成绩进行分组并根据各组人数制成如下频率分布表：
（Ⅰ）将上面的频率分布表补充完整，并估计本次考试全校85分以上学生的比例；
（Ⅱ）为了帮助成绩差的同学提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩为
中任选出两位同学，共同帮助成绩在
中的某一个同学，试列出所有基本事件；若
同学成绩为43分，
同学成绩为95分，求、两同学恰好被安排在“二帮一”中同一小组的概率．
|
分 组 |
频 数 |
频 率[来源:学_科_网] |
|
[40, 50 ） |
2 |
0.04 |
|
[ 50, 60 ） |
3 |
0.06 |
|
[ 60, 70 ） |
14 |
0.28 |
|
[ 70, 80 ） |
15 |
0.30 |
|
[ 80, 90 ） |
|
|
|
[ 90, 100 ] |
4 |
0.08 |
|
合 计 |
|
|
【解析】第一问利用表格可知第五行以此填入 12 0.24
第七行以此填入 50 1 估计本次全校85分以上学生比例为32％
第二问中，设数学成绩在[90，100]间的四个同学分别用字母B1，B2，B3，B4表示；被帮助的两个同学为A1，A2出现的“二帮一”小组有A1B1B2；A1B1B3；A1B1B4；A1B2B3；A1B2B4；A1B3B4
A2B1B2；A2B1B3；A2B1B4；A2B2B3；A2B2B4；A2B3B4
A1、B1两同学恰好被安排在“二帮一”中同一小组的有 A1B1B2；A1B1B3；A1B1B4
l利用古典概型概率得到。
（Ⅰ）第五行以此填入 12 0.24 ……………2分
第七行以此填入 50 1 ……………4分
估计本次全校85分以上学生比例为32％ ……………6分
（Ⅱ）设数学成绩在[90，100]间的四个同学分别用字母B1，B2，B3，B4表示；被帮助的两个同学为A1，A2出现的“二帮一”小组有A1B1B2；A1B1B3；A1B1B4；A1B2B3；A1B2B4；A1B3B4
A2B1B2；A2B1B3；A2B1B4；A2B2B3；A2B2B4；A2B3B4
A1、B1两同学恰好被安排在“二帮一”中同一小组的有 A1B1B2；A1B1B3；A1B1B4
所以 A1、B1两同学恰好被安排在“二帮一”中同一小组的概率为 3 /12 =1 /4
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