摘要：15．如图.在边长为2的菱形ABCD中.∠B＝45°.AE为BC边 上的高.将△ABE沿AE所在直线翻折至△AGE.那么△AGE与 四边形AECD重叠部分的面积是 .
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如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AE是BC上的高，将△ABE沿着AE所在的直线翻折得△A
E．
(1)请你判断△AFD的形状并说明理由．
(2)若菱形边长为2时，试求△AB′E与四边形AECD重叠部分的面积．
如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”
(1)请用直尺与圆规画一个“好玩三角形”；
(2)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
，求证：△ABC是“好玩三角形”；
(3)如图2，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝2β，点P，Q从点A同时出发，以相同的速度分别沿折线AB－BC和AD－DC向终点C运动，记点P所经过的路程为S
①当β＝45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求
的值
②当tanβ的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”请直接写出tanβ的取值范围．
(4)本小题为选做题
依据(3)中的条件，提出一个关于“在点P，Q的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ是“好玩三角形”的个数关系的真命题(“好玩三角形”的个数限定不能为1)．
如图，在等腰梯形ABCD中，AD＝4，BC＝9，∠B＝45°．动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
(1)求AB的长；
(2)设BP＝x，问当x为何值时△PCQ的面积最大，并求出最大值；
(3)探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？请说明理由．
