摘要：典型例题 [例题1]如图1所示.图中虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线.在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B的匀强磁场.方向垂直纸面向外.O是MN上的一点.从O点可以向磁场区域发射电量为+q.质量为m.速率为v的粒子.粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向.已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇.P到O的距离为L.不计重力及粒子间的相互作用. (1)求所考察的粒子在磁场中的轨道半径, (2)求这两个粒子从O点射入磁场的时间间隔. [点拨解疑](1)设粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R.由牛顿第二定律得 .则 (2)如图2所示.以OP为弦可以画两个半径相同的圆.分别表示在P点相遇的两个粒子的轨迹.圆心分别为O1.O2.过O点的直径分别为OO1Q1.OO2Q2.在O点处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向.用θ表示它们之间的夹角.由几何关系可知..从O点射入到相遇.粒子1的路程为半个圆周加弧长Q1P=Rθ.粒子2的路程为半个圆周减弧长PQ2=Rθ 粒子1的运动时间为 .其中T为圆周运动的周期. 粒子2运动的时间为 两粒子射入的时间间隔为 因为 所以 有上述算式可解得 点评:解带电粒子在磁场中运动的题.除了运用常规的解题思路(画草图.找“圆心 .定“半径 )之外.更应侧重于运用数学知识进行分析.本题在众多的物理量和数学量中.角度是最关键的量.它既是建立几何量与物理量之间关系式的一个纽带.又是沟通几何图形与物理模型的桥梁. [例题2]如图3所示.在直角坐标系的第一.二象限内有垂直于纸面的匀强磁场.第三象限有沿Y轴负方向的匀强电场.第四象限内无电场和磁场.质量为m.带电量为q的粒子从M点以速度v0沿x轴负方向进入电场.不计粒子的重力.粒子经N.P最后又回到M点.设OM=L.ON=2L.则: 关于电场强度E的大小.下列结论正确的是 ( ) A． B． C． D． (2)匀强磁场的方向是 . (3)磁感应强度B的大小是多少? [点拨解疑] (1)由带电粒子在电场中做类平抛运动.易知.且则E= 故选C (2)由左手定则.匀强磁场的方向为垂直纸面向里. (3)根据粒子在电场中运动的情况可知.粒子带负电.粒子在电场中做类平抛运动.设到达N点的速度为v.运动方向与x轴负方向的夹角为θ.如图4所示. 由动能定理得 将(1)式中的E代入可得 所以θ=45° 粒子在磁场中做匀速圆周运动.经过P点时速度方向也与x轴负方向成45°角. 则OP=OM=L NP=NO+OP=3L 粒子在磁场中的轨道半径为R=Npcos45°= 又 解得 点评:带电粒子的复杂运动常常是由一些基本运动组合而成的.掌握基本运动的特点是解决这类问题的关键所在.该题中.粒子在匀强磁场中运动轨迹的圆心不在y轴上.注意到这一点是很关键的. [例题3] 如图5所示.在水平正交的匀强电场和匀强磁场中.半径为R的光滑绝缘竖直圆环上.套有一个带正电的小球.已知小球所受电场力与重力相等.小球在环顶端A点由静止释放.当小球运动的圆弧为周长的几分之几时.所受磁场力最大? [点拨解疑] 小球下滑的过程中.要使磁场力最大.则需要速度最大.OC为与小球受到的重力.电场力的合力平行的半径.由功能关系寻找速度最大的点.因为洛伦兹力不做功.所以不考虑磁场的作用.从图中A到C.上述合力有切向分力.且与速度同向.因此做正功.小球动能增加,在C点时.该合力为径向.没有切向分力,此后切向分力与线速度反向.动能将减小,故在C点时速度最大.所受磁场力也最大.由受力分析知 mg=qE mg=qEtanα 得α= 45° 由图知θ=α+90°=135° 故小球运动的弧长与周长之比为. 所以运动的弧长为周长的. 点评:讨论带电粒子的运动.必须熟悉各种力做功的特点.该题也可用等效法处理.把电场和重力场合起来当作一个新的重力场.这个重力场的竖直方向与原水平方向成45°角斜向下.这样就很容易确定速度最大的点. [例题4 ] 从阴极K发射的电子经电势差U0=5000V的阳极加速后.沿平行于板面的方向从中央射入两块长L1=10cm.间距d=4cm的平行金属板A.B之间.在离金属板边缘L2=75cm处放置一个直径D=20cm.带有纪录纸的圆筒.整个装置放在真空内.电子发射时的初速度不计.如图6所示.若在金属板上加一U =1000cos2πt V的交流电压.并使圆筒绕中心轴按图示方向以n=2r/s匀速转动.分析电子在纪录纸上的轨迹形状并画出从t=0开始的1s内所纪录到的图形. [点拨解疑] 对电子的加速过程.由动能定理得: eU0=mv02 得电子加速后的速度 v0==4.2×107m/s 电子进入偏转电场后.由于在其中运动的时间极短.可以忽略运动期间偏转电压的变化.认为电场是稳定的.因此电子做类平抛的运动.如图7所示. 交流电压在A.B两板间产生的电场强度 V/m 电子飞离金属板时的偏转距离 电子飞离金属板时的竖直速度 电子从飞离金属板到到达圆筒时的偏转距离 所以在纸筒上的落点对入射方向的总偏转距离为 m 可见.在纪录纸上的点在竖直方向上以振幅0.20m.周期T=1s做简谐运动.因为圆筒每秒转2周.故转一周在纸上留下的是前半个余弦图形.接着的一周中.留下后半个图形.合起来.1s内.在纸上的图形如图8所示. 点评:偏转电场如果不稳定.电子在其中的运动将非常复杂.因此理想化处理是解答本题的关键.示波器是常用的电子仪器.其原理与该题的情景有相似之处.
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