20．——青夏教育精英家教网——

摘要：20．

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。

1．C 2．D 3．A 4．B 5．A 6．D 7．B 8．C 9．A

10．B 11．D 12．C

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

13．64 14． 15．4 16．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分。

17．（本小题满分10分）

（1）解：∵ 2分

∴

∴

∴ 5分

（2）解：∵

∴

又∵ 7分

∵，

∵

= 10分

18．（本小题满分12分）

解：用A_i表示事件：一天之内第i个部件需要调整（i=1、2、3），

则，

用表示一天之内需要调整的部件数，则

（1）……3分

（2）

……………………12分

答：一天之内恰有一个部件需要调整的概率是0.398；一天之内至少有两个部件需要调整的概率是0.098.

19．（本小题满分12分）

解法一：

（1）证明：在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，

∴CC₁⊥AC，

∵BC=CC₁，

∴BCC₁B₁为正方形。

∴BC₁⊥B₁C…………………………2分

又∵∠ACB=90°，

∴AC⊥BC

∴AC⊥平面BCC₁B₁，

∵B₁C为AB₁在平面BCC₁B₁内的射影，BC₁⊥B₁C，

∴AB₁⊥BC₁，………………………………4分

（2）解：

∵BC//B₁C，

∴BC//平面AB₁C₁，

∴点B到平面AB₁C₁的距离等于点C到平面AB₁C₁的距离 ………………5分

连结A₁C交AC₁于H，

∵ACC₁A₁是正方形，

∴CH⊥AC₁。

∵B₁C₁⊥A₁C₁，B₁C₁⊥CC₁，

∴B₁C₁⊥A₁C₁，B₁C₁⊥CC₁，

∴B₁C₁⊥平面ACC₁A₁。

∴B₁C₁⊥CH。

∴CH⊥平面AB₁C₁，

∴CH的长度为点C到平面AB₁C₁的距离。

∵

∴点B到平面AB₁C₁的距离等于…………………………8分

（3）取A₁B₁的中点D，连接C₁D，

∵△A₁B₁C₁是等腰三角形，所以C₁D⊥A₁B₁，

又∵直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，侧面A₁B₁BA⊥底面A₁B₁C₁，

∴C₁D⊥侧面A₁B₁BA。

作DE⊥AB₁于E，；连C₁E，则DE为C₁E的平面A₁B₁BA内的射影，

∴C₁E⊥AB₁

∴∠C₁ED为二面角C₁―AB₁―A₁的平面角。……………………10分

由已知C₁D=

∴

∴

即二面角C₁―AB₁―A₁的大小为60°…………………………12分

解法二：

如图建立直角坐标系，其为C为坐标原点，依题意A（2，0，0），B（0，2，0），A₁（2，0，2），B₁（0，2，2），C₁（0，0，2）。…………………………2分

（1）证明：

…………………………4分

（2）解：

设的法向量，

由得

令………………………………6分

，

∴点B到平面AB₁C₁的距离……………………8分

（3）解设是平面A₁AB₁的法向量

由

令…………………………10分

∴二面角C₁―AB―A₁的大小为60°。…………………………12分

20．（本小题满分12分）

（1）解：由已知得切点A的坐标为…………2分

即

由……………………5分

（2）证明：由（1）得

它的定义域为，

上是增函数。

是增函数，……………………9分

………………………………12分

21．（本小题满分12分）

（1）解：设椭圆E的方程为…………2分

设

为直角三角形，且，

又

又为直角三角形，且，

……………………4分

∴椭圆E的方程为…………………………6分

（2）椭圆E的左准线方程为

由

∴线段PQ的中点M的横坐标为

…………………………9分

（3）解：

点Q分有向线段，

是以为自变量的增函数，

…………………………12分

22．（本小题满分12分）

（1）当x=y=0时，

解得……………………1分

当x=1，时，

……………………3分

（2）解：当x是正整数，y=1时，由已知得

…………………………5分

当x是负整数时，取，

则是正整数

.

又

……………………7分

它所有的整数解为―3，―1，1，3.

它们能构成的两个等差数列，即数列―3，―1，1，3以及数列3，1，―1，―3…12分

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