摘要：9．三种空间角的向量法计算公式: ⑴异面直线所成的角:, ⑵直线与平面(法向量)所成的角:, ⑶锐二面角:.其中为两个面的法向量 题型讲解 例1 直三棱柱A1B1C1-ABC.∠BCA=90°.点D1.F1分别是A1B1.A1C1的中点.BC=CA=CC1.则BD1与AF1所成角的余弦值是( ) A． B． C． D． 解法一:如图.连结D1F1. 则D1F1 BC ∴D1F1 设点E为BC中点 ∴D1F1 BE EF1 ∴∠EF1A或补角即为所求 由余弦定理可求得cos∠EF1A=． 解法二:建立如图所示的坐标系.设BC=1 则A.F1(-.0.1). B.D1(-.-.1) 即 =(.0.1). =(-. .1) ∴cos<. >= 点评: 解法一与解法二从两个不同角度求异面直线所成的角．解法一体现传统方法作-证-算,解法二把角的求解转化为向量运算.应注意体会两种方法的特点． 例2 在正四面体ABCD中.E为AD的中点.求直线CE与平面BCD成的角． 分析:求线面角的关键在于找出斜线在平面内的射影.即找垂面.有了垂面即可在垂面内作交线的垂线.线面角即可作出.然后转化到三角形中求解． 解法一: 取BC的中点F.连结AF.DF ∵正四面体ABCD ∴BC⊥AF.BC⊥DF ∴BC⊥面AFD. 而BC平面BCD ∴面AFD⊥面BCD 过E作EH⊥DF于H. 而DF平面BCD.则EH⊥面BCD 则∠ECH为CE与面BCD所成的角． 在Rt△CEH中.sin∠ECH=． 即CE与平面BCD成的角为arcsin． 解法二:如图建立以三角形BCD的中心O为原点.,OD,OA依次为y轴.z 轴X轴平行于BC 设正四面体ABCD的棱长为. 则 ∴ ∵E为AD的中点.∴ ∴ 又因为平面BCD的法向量为. ∴即CE与平面BCD成的角满足: 点评:求线面角的两种方法 例3 如图.在长方体ABCD-A1B1C1D1中.AB＝2.BC＝BB1＝1.E为D1C1的中点.求二面角E-BD-C的正切值． 解法一:∵ABCD-A1B1C1D1是长方体. ∴作EF⊥面BCD.而E为的中点.则F为CD的中点.过F作FM⊥BD交BD于M.连EM.由三垂线定理知EM⊥BD. ∴∠EMF就是二面角E-BD-C的平面角.)又∵AB＝2.BB1＝BC＝1.EF＝1. FM＝1×＝ ∴tan∠EMF＝． 解法二:∵S△BDF＝S△EBD·cosθ 而S△BDF＝BD·FM＝··＝. 又BD＝.ED＝.BE＝ ∴ED2+BE2＝BD2 ∴DE⊥EB 故S△EBD＝ED·EB＝ ∴cosθ＝,tanθ＝． 解法三:过E作棱BD的垂线EM交BD于M.过C点作棱BD的垂线CN交BD于N.E.C是异面直线EM.CN上两点.CE＝．EM＝. 而FM⊥BD.CN⊥BD.F为CD中点. ∴MN＝DM＝ ∴2＝cosθ cosθ＝.tanθ＝． 解法四:如图.建立坐标系.则D,E 设平面DBE的方程为: 则 ∴平面DBE的一个法向量为 又因为平面BCD的一个法向量为 二面角E-BD-C的余弦值为: ∴ 点评: 选此题意在通过此题使学生掌握二面角平面角的作法及求法．即三垂线定理及逆定理法.投影法.利用异面直线上两点间的距离公式法． 例4 正方体ABCD-EFGH的棱长为a.点P在AC上.Q在BG上.且AP=BQ=a, ⑴求直线PQ与平面ABCD所成的角的正切值, ⑵求直线PQ与AD所成的角 分析:(1)先作出PQ在面ABCD内的射影.由于面BFGC⊥面ABCD.作QM⊥BC于M.则MP就是QP在面ABCD内的射影.∠QPM就是要求的角.也可以先求出面ABCD的法向量与的角.然后再求它的余角即得 解:建立坐标系后.求出 可由cos求解. 解(1)作QM⊥BC于M.连MP.则∠QMP就是直线PQ与平面ABCD所成的角则易得:QM=. MP=(1- tan∠QPM= (2)建立空间直角坐标系如图.则 Q(0. P( A, ,= QP与AD所成的角为90° 例5 如图.在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中.∠ABC=90°.SA⊥平面ABCD.SA=AB=BC=1.AD=.求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值 分析:此题中二面角的棱没有画出.按常规解可延长BA.CD相交于E.则SE是二面角的棱.因为DA⊥面ABS.过点A作SE的垂线交SE于F.连结DF.则∠ADF就是所求二面角的平面角 若用向量法求解.就是要求两个面的法向量所成的角或补角 解:如图建立空间直角坐标系.则依题意可知D(.C. S.可知是面SAB的法向量 设平面SCD的法向量= =0. 可推出令x=2,则有y=-1,z=1, = 设所求二面角的大小为θ.则 cosθ== , tan 例6 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形.且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD (1)证明:C1C⊥BD, (2)当的值为多少时.能使A1C⊥平面C1BD请给出证明 证明:如设∠C1CB=θ.由题设.∠C1CD=∠BCD=θ令=.=.=.||=1.||=x.因为四边形ABCD为菱形.所以||=1. (1)∵- ∴ ·=·(-)=·-· =1·x·cosθ-1·x·cosθ=0 ∴ C1C⊥BD (2)假设A1C⊥平面C1BD成立 则A1C⊥C1D.从而·=0 由于=-.=++ 因此 ·=(++)·(-) = 2+·+·-·c-·-2 =2+·+·-2=1+1·1·cosθ-1·x·cosθ-x2 = 从而=0 由于1+x+cosθ＞0.因此.x=1 也就是说时.A1C⊥平面C1BD成立 点评:平行六面体的12条棱共分三组.每组四条棱两两平行.故可取共顶点的三条棱作为空间向量的基底.此题中..三个共点向量为基底.其余向量可由此三个向量生成 小结: 空间角的求解有两种方法一种是几何法.另一种是向量法．

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