已知函数y=f（x）同时满足：
（1）定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）且f（-x）=f（x）恒成立；
（2）对任意正实数x₁，x₂，若x₁＜x₂有f（x₁）＞f（x₂），且f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
试写出符合条件的函数f（x）的一个解析式．

已知f（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

(n∈N+)．
经计算得f（2）=

3

2

，f（4）＞2，f（8）＞

5

2

，f（16）＞3，f（32）＞

7

2

…，通过观察，我们可以得到一个一般性的结论．
（1）试写出这个一般性的结论；
（2）请证明这个一般性的结论；
（3）对任一给定的正整数a，试问是否存在正整数m，使得1+

1

2

+

1

3

+…+

1

m

＞a？若存在，请给出符合条件的正整数m的一个值；若不存在，请说明理由．

已知：二次函数f（x）=ax²+bx+1，其中a，b∈R，g（x）=ln（ex），且函数F（x）=f（x）-g（x）在x=1处取得极值．
（I）求a，b所满足的关系；
（II）若直线l：y=kx（k∈R）与函数y=f（x）在x∈[1，2]上的图象恒有公共点，求k的最小值；
（III）试判断是否存在a∈（-2，0）∪（0，2），使得对任意的x∈[1，2]，不等式（x+a）F（x）≥0恒成立？如果存在，请求出符合条件的a的所有值；如果不存在，说明理由．