摘要：3．整体处理策略 整体处理.就是在处理问题时.利用问题中整体与部分的关系.通过整体代入.整体运算.整体消元.整体合并等方法.简化运算过程.提高解题速度.并从中感受到整体思维的和谐美． 例4?椭圆(x2／16)+(y2／4)＝1上有两点P.Q.O是原点.若OP.OQ的斜率之积为-求证|OP|2+|OQ|2为定值, (2)求PQ的中点M的轨迹方程． 讲解:我们给出两种解法． 解法1．(1)设P.Q两点的坐标分别为P(x1.y1).Q(x2.y2)． ∵ P.Q分别在椭圆上.且kOP·kOQ＝-． ∴ (x12／16)+(y12／4)＝1. 4y12＝16-x12. ① (x22／16)+(y22／4)＝1. 4y22＝16-x22. ② (y1／x1)·(y2／x2)＝- 4y1y2＝-x1x2． ③ ①×②.得 16y12y22＝16?2-16(x12+x22)+x12x22． ④ ③代入④.得x12+x22＝16． ①+②.得 y12+y22＝8-(x12+x22)＝4．? ∴ |OP|2+|OQ|2＝x12+y12+x22+y22＝20．? .则有 x1+x2＝2x.y1+y2＝2y． ①+②+③×2.得 4(y12+y22+2y1y2)＝32-(x12+x22+2x1x2). ?∴ 4(y1+y2)2＝32-(x1+x2)2. ∴ 4x2+16y2＝32.即(x2／8)+(y2／2)＝1． 故PQ的中点M的轨迹方程为(x2／8)+(y2／2)＝1． 解法2．(1)设PQ的方程为y＝mx+n. 由 x2+4y2＝16. 可得 y＝mx+n x2+4y2＝162. 令k＝.上式可整理成 (16-4n2)k2-32mk+16m2-n2＝0． 依题意.得k1k2＝(16m2-n2)／(16-4n2)＝-. 即8m2-n2+2＝0． 又由 x2+4y2＝16. 可得 y＝mx+n (1+4m2)x2+8mnx+4n2-16＝0． 根据根与系数的关系得 x1+x2＝-(8mn)／(1+4m2). x1·x2＝(4n2-16)／(1+4m2)． ∵ 8m2-n2+2＝0.∴ 1+4m2＝n2. ∴ x1+x2＝-.x1·x2＝(8(n2-4)／n2)． ∴ |OP|2+|OQ|2＝x12+(mx1+n)2+x22+(mx2+n)2 ＝(1+m2)(x12+x22)+2mn(x1+x2)+2n2 ＝(1+m2)［(x1+x2)2-2x1x2］+2mn(x1+x2)+2n2. 将韦达定理代入.可得(注意:n2＝8m2+2)|OP|2+|OQ|2＝20． (2)根据中点坐标公式可得 2x0＝x1+x2＝-. m＝(x0y0)／(x02-8). y0＝mx0+n n＝8y0／(8-x02)． 代入8m2-n2+2＝0.得 8(x02y02／(x02-8)2)-(64y02／(x02-8)2)+2＝0． 整理.得x02+4y02＝8.这就是所求的轨迹方程． 注:当PQ的斜率不存在时.容易讨论.这里略去． 4．联想迁移策略 联想是一种特定的想象．它是把某一领域的事物与其他领域的事物联系起来思考并由此激发新的认识的思维方式．数学解题需要联想．联想思维的过程实质上是一个知识迁移的过程．联想的目的是为了寻求解题途径.促使问题的解决.或归纳出一个比较理想的结论． 例5 已知i.m.n是正整数.且1＜i≤m＜n． (Ⅰ)证明niPim＜miPin, n＞(1+n)m． 讲解:本题是2001年的高考题.难度较大.下面给出(Ⅱ)的不同于标准答案的三种证明方法． 方法1．设f(n)＝.依题意只需证明函数f(n)递减.即当n≥3时.只需证明 ＜． ∵ ＜ ＝＝n. ∴ ＜n． ∴ ＜.函数f(n)递减． 由m＜nf (1+m)n＞(1+n)m． 方法2．设φ.下面证明φ上单调递减． ∵ φ′／x2). 又∵ ＜1.x+1≥3＞e. ∴ ?ln＜0. ∴ φ上递减． ∵ n＞m≥2. ∴ φ. ∴ ／n)． 整理.得(1+m)n＞(1+n)m． 方法3．先证明当n≥3时.xn＝nn+1-(n+1)n＞0． 显然x3＝17＞0.并且 xn+1＝(n+1)n+2-(n+2)n+1? ＝(n+2)n+1［n+1-1］． ∵ . ∴ xn+1＞(n+2)n+1［n+1-1］? ＝(n+2)n+1(nn+1-(n+1)n／(n+1)n) ＝n+1／(n+1)n)xn＞xn． 这说明数列{xn}是递增数列． ∴ xn＞x3＞0. 可得数列{}递减． (i)当n＞m≥3时.有 ＞. 即(1+m)n＞nn+1． ∵ n＞m≥3. ∴ m＜n＜3＜n. 即nm+1＞(1+n)m． 故(1+m)n＞(1+n)m． (ii)当m＝2时.欲证不等式转化成 3n＞(n+1)2． 该不等式极易用数学归纳法完成． 综合n＞(1+n)m成立． 5?分类讨论策略 分类讨论是一种“化整为零.各个击破 的思想方法．先根据题目要求确定适当的分类标准.然后对划分的每一类分别求解.如有必要可再加以分类.最后进行综合.从而得出结果． 例6?题目同例3 讲解:原不等式等价于不等式组 x-2＞0. x＞2. (x-4)a+4＞0. x＞4-. (x-2)2＞(x-4)a+4 ＞0． 由2＝4-得a＝2.因此对a可分成以下几类: ①当1＜a＜2时. 4＞4-＞2＞a. ∴ x＞4, ②当a＝2时.可得x＞4． ③当2＜a＜4时. 4＞a＞4-＞2. ∴ x＞4或4-＜x＜a, ④当a＝4时. ∴ x＞3且x≠4, ⑤当a＞4时. a＞4＞4-＞2. ∴ x＞a或4-＜x＜4． 综上可知:当1＜a≤2时.x∈.当2＜a≤4时.x∈.当a＞4时.x∈． 三.专题训练 1?西部某地区因交通问题严重制约经济发展．某种土特产品只能在本地销售.每年投资x万元.所获利润为p＝-2+10万元．在实施西部大开发战略中.该地区在制定经济发展十年规划时.拟开发此种土特产品．开发前后.财政预算每年均可投入专项资金60万元．要开发此产品.需先用5年时间修通公路.所需资金需从60万元的预算资金中每年拿出30万元．公路修通后该土特产品在异地销售.每投资x万元.可获利润q＝-2+万元．问:从10年的总利润来看.该项目有无开发价值? 2?设函数f(x)=-ax,其中a＞0. ≤1, (2)求a的取值范围.使函数f上是单调函数. 3?求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值． 4?设曲线C的方程是y＝x3-x.将C沿x轴.y轴正方向分别平移t.s个单位得曲线C1． (1)写出曲线C1的方程, (2)证明曲线C和C1关于点A对称． 5?设a,b∈R+.直线l1:y=-x+b与l2:y=x的交点为P1(x1,y1),作点P1在x轴上的射影Q1(x1,0),过点A(0.b)与点Q1(x1,0)的直线AQ1交直线l2于P2(x2,y2);作点P2在x轴的射影Q2(x2,0).连直线AQ2交直线l2于P3(x3,y3),-.如此类推可得P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),-.Pn(xn,yn),-如图9-32. 图9-32 (1)求x1,y1, (2)求数列{xn},{yn}的通项, (3)设zn=xn·yn+1,求数列{zn}的前n项和Sn.并求极限. 6?设关于x的一元二次方程2x2-ax-2＝0的两个根为α.β=／(x2+1)． 的值, 在［α.β］上递增．

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