摘要：18．(1)由 y＝x-a. x2-2(a+p)x+a2＝0． y2＝2px 由弦长公式得|AB|＝|x2-x1|＝． 令0＜≤2p. 则-． (2)设AB的垂直平分线交AB于Q点.Q(x3.y3).A(x1.y1).B(x2.y2).则 x3＝(x1+x2)／2＝a+p. y3＝(y1+y2)／2＝p. ∴ |QM|2＝2p2． ∵ △MNQ为等腰直角三角形. ∴ |QN|＝|QM|＝p． S△NAB＝|AB|·|NQ|＝(／2)p|AB|≤p2． 即△NAB面积的最大值为p2． 19.设满足条件的双曲线存在.则 (1)若双曲线焦点在x轴上. ∵ 渐近线为y＝±x. ∴ 可设双曲线方程为(x2／4b2)-(y2／b2)＝1． ?设动点P为(x.y).则 |AP|＝. 且x∈． 若2b≤4.则当x＝4时.|AP|min＝＝.此时b2＝-1.无解, 若2b＞4.则当x＝2b时.|AP|min＝|2b-5|＝.解得b＝(5±)／2.但(5-／2)＜2应舍去． 则存在双曲线(x2／(5+)2)-(y2／((5+)／2)2)＝1符合条件． (2)若双曲线焦点在y轴上.则可设双曲线方程为(y2／b2)-(x2／4b2)＝1.则 |AP|＝． ∵ x∈R.∴ 当x＝4时.|AP|min＝＝．? ∴b2＝1.则此时存在双曲线y2-(x2／4)＝1满足题设条件． 20.(1)由 y＝xtgθ. 解得点A的坐标为 (x2／m2)+(y2／n2)＝1 x＝mn／.y＝mntgθ／． ∴ S＝4|xy|＝(4m2n2tgθ)／(m2tg2θ+n2)． (2)∵ S＝(4m2n2)／(m2tgθ+(n2／tgθ)). ①当m＞n.即＜1时.当且仅当tg2θ＝(n2／m2)时.S≤(4m2n2)／(2mn)＝2mn. 由于θ∈］.?∴0＜tgθ≤1.故取tgθ＝.Smax＝2mn.?∴u＝2mn．? ②当m＜n.即＞1时.易证S在θ∈］上为增函数.故取θ＝.即tgθ＝1时.Smin＝(4m2n2)／(m2+n2)． 所以u＝ 2mn. (4m2n2)／(m2+n2)． ＞1时.u＞mn恒成立, 当＜1时.由(4m2n2)／(m2+n2)＞mn.得 2-4+1＜0.解得2-＜＜1． 综上所述.当u＞mn时.∈(2-.1)∪．

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