摘要：20． 已知函数f= lnx-2. (1) 试讨论这两个函数的图像的交点个数. =f,的导数.求证:对任意实数m,n.当0<m<n时.关于x的方程(x)在区间[m,n]恒有实数解. 解:, 由已知F(x)的定义域为{x|x>0}, 由 当a>0时.解得:x<0或x>.-----2分 由 x (0, ) (, +∞) - 0 + y ↘ 极小值 3+lna ↗ -------3分 ① 当3+lna>0,即a>e-3时.F无零点.-----4分 ② 当0<a< e-3时,F(x)的极小值3+lna<0,又当x→0时.F=a+2>0,故F(x)有两个零点.-----5分 当a=0时.F(x)=-lnx+2为减函数.F(x)有且只有一个零点e2 当a<0时.F(x)=ax-lnx+2亦为减函数.且当x→0时.F(x)=ax-lnx+2→+∞.当x→+∞时.F有且只有一个零点. 当a= e-3时.3+lna=0.F(x)只有一个零点. -----7分 综上所述.当a> e-3时,这两函数的图像无交点,当0<a< e-3时这两函数图像有两个交点,当a≤0或a= e-3时.这两函数有且只有一个交点.----8分 (2)依题意: 方程-=0在区间[m,n]内有解.故只须证明即可.-------9分 令s(x)=ln-,x∈[m,n],则(x)=>0,故函数s(x)在[m,n]为增函数.故s=0.即,-------10分 令t(x)=ln- x∈[m,n],则(x)=>0,故函数t(x)在[m,n]为增函数.即t=0,即,故.--11分 综上所述.当0<m<n时.关于x的方程(x)在区间[m,n]恒有实数解.---12分
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(本题满分12分)
已知函数f(x)＝x2＋ax－lnx，a∈R；
(1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围；
(2)令g(x)＝f(x)－x2，是否存在实数a，当x∈(0，e](e是自然对数的底数)时，函数g(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
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（本小题满分12分）
已知函数f（x）是定义在[-e,0）∪（0,e]上的奇函数，当x∈（0,e],f（x）=ax+lnx（其中e是自然对数的底数，a∈R）
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=
,x∈[-e,0）,求证：当a=-1时，f（x）>g（x）+
;
（3）是否存在实数a，使得当x∈[-e,0）时f（x）的最小值是3 如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由．
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（本小题满分共12分）已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2
（Ⅰ）求a，b，c，d的值
（Ⅱ）若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围。
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