一、填空题：

1．   2．    3．    4．    5．    6．   7．    8．2009     9．4个     10．①②    11． 

二、选择题：

12．B    13．C    14．D    15．D

三、解答题：

16．解：（Ⅰ）因为点的坐标为，根据三角函数定义可知，  

，，                                                          2分

所以                                                4分

（Ⅱ）因为三角形为正三角形，所以，，，                                                  5分

所以

                                               7分

所以

。                                        11分

17．方法一：（I）证明：连结OC，因为所以

又所以，                                    2分

在中，由已知可得 而

所以所以即，

而       所以平面。                                    5分

（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知

所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角，              7分

在中，因为是直角斜边AC上的中线，所以所以                          

所以异面直线AB与CD所成角的大小为。                           12分

18．解：（Ⅰ）由年销售量为件，按利润的计算公式，有生产A、B两产品的年利润分别为：

且         2分

所以                      5分

（Ⅱ）因为所以为增函数，

，所以时，生产A产品有最大利润为（万美元）                         

又，所以时，生产B产品

有最大利润为460（万美元）                                            8分

现在我们研究生产哪种产品年利润最大，为此，我们作差比较：

  10分

所以：当时，投资生产A产品200件可获得最大年利润;

     当时，生产A产品与生产B产品均可获得最大年利润；

     当时，投资生产B产品100件可获得最大年利润。12分

19．解：（1）当时， ，成立，所以是偶函数；

                                                                         3分

当时，，这时所以是非奇非偶函数；                                                           6分

（2）当时，设且,则

                  9分

当时，因为且，所以

所以，

，所以是区间 的单调递减函数。  14分

20．解：（Ⅰ）由抛物线：知，设，在上，且，所以，得，代入，得，

所以。                                                      4分

在上，由已知椭圆的半焦距，于是

消去并整理得  ， 解得（不合题意，舍去）．

故椭圆的方程为。                                      7分

（另法：因为在上，

所以，所以，以下略。）

（Ⅱ）由得，所以点O到直线的距离为

，又，

所以，

且。                                      10分

下面视提出问题的质量而定：

如问题一：当面积为时，求直线的方程。（）      得2分

问题二：当面积取最大值时，求直线的方程。（）       得4分

21．解：（1）

2

3

35

100

97

94

3

1

                                                                         4分

（2）由题意知数列的前34项成首项为100,公差为－3的等差数列,从第35项开始,奇数项均为3,偶数项均为1,                                  6分

从而=                         8分

    =                        10分

（3）证明：①若,则题意成立，                                   12分

②若,此时数列的前若干项满足,即，

设,则当时,，

从而此时命题成立；                                                       14分

③若,由题意得,则由②的结论知此时命题也成立，

综上所述,原命题成立。                                                     16分