摘要：例1 已知函数 .Sn是数列的前n项和.点(n.Sn)(n∈N*)在曲线上. (Ⅰ)求数列的通项公式,(Ⅱ)若..且Tn是数列的前n项和. 试问Tn是否存在最大值?若存在.请求出Tn的最大值,若不存在.请说明理由. 解(Ⅰ)因为点(n.Sn)在曲线上.又.所以. 当n=1时.. 当n>1时. 所以. (Ⅱ)因为 ①所以 ② ③ ②-③得 . 整理得. ④ 策略一 利用差值比较法 由④式得.所以 因为.所以. 又.所以所以. 所以. 所以Tn存在最大值 策略二 利用商值比较法 由④式得. 因为 所以.即. 所以/ 所以Tn存在最大值. 策略三 利用放缩法 由①式得.又因为Tn是数列的前n项和. 所以. 所以 所以Tn存在最大值. 策略四 利用导数江 考查函数的单调性. 因为.所以.而.所以 又. 所以.所以. 又.所以. 即.所以在上是单调递减函数.所以当x=1时. . 因为.所以. 所以存在最大值. 策略五 先猜后证 通过分析.推测数列的第一项最在. 下面证明:. 方法1 分析法 因为.所以只要证明. 即只要证明. 只需要证明. 即只要证明 由二项式定理得且时. .所以 所以成立. 所以成立. 所以存在最大值. 方法2 利用数学归纳法 (i)当n=2时.因为.所以.不等式成立. (ii)假设时不等式成立.即. 则当时. 由①式得 所以. 这就是说.当n=k+1时.不等式也成立. 由得.对于一切且.总有成立. 所以存在最大值. 评注 本题(Ⅱ)的解答给出了求Tn最大值的多种方法.灵活多变.也是求数列最值问题的常规方法.

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