摘要：2．概率的性质: ①随机事件的概率为. ②必然事件和不可能事件看作随机事件的两个特例.分别用和表示.必然事件的概率为.不可能事件的概率为.即.;
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考察等式：
（*），其中n、m、r∈N*，r≤m＜n且r≤n-m．某同学用概率论方法证明等式（*）如下：
设一批产品共有n件，其中m件是次品，其余为正品．现从中随机取出r件产品，
记事件Ak={取到的r件产品中恰有k件次品}，则
，k=0，1，2，…，r．
显然A，A1，…，Ar为互斥事件，且A∪A1∪…∪Ar=Ω（必然事件），
因此1=P（Ω）=P（A）+P（A1）+…P（Ar）=
，
所以
，即等式（*）成立．
对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑．现有以下四个判断：
①等式（*）成立 ②等式（*）不成立 ③证明正确 ④证明不正确
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（*），其中n、m、r∈N*，r≤m＜n且r≤n-m．某同学用概率论方法证明等式（*）如下：设一批产品共有n件，其中m件是次品，其余为正品．现从中随机取出r件产品，
记事件Ak={取到的r件产品中恰有k件次品}，则
，k=0，1，2，…，r．显然A，A1，…，Ar为互斥事件，且A∪A1∪…∪Ar=Ω（必然事件），
因此1=P（Ω）=P（A）+P（A1）+…P（Ar）=
，所以
，即等式（*）成立．对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑．现有以下四个判断：
①等式（*）成立 ②等式（*）不成立 ③证明正确 ④证明不正确
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考察等式：
（*）
其中n，m，r∈N*，r≤m＜n且r≤n-m，
某同学用概率论方法证明等式(*)如下：设一批产品共有n件，其中m件是次品，其余为正品，现从中随机取出r件产品，记事件Ak={取到的r件产品中恰有k件次品}，则
，k=0，1，…，r。显然A0，A1，…，Ar为互斥事件，且
（必然事件），因此
，
所以，
，即等式(*)成立。
对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑．
现有以下四个判断：①等式(*)成立；②等式(*)不成立；③证明正确；④证明不正确，试写出所有正确判断的序号（ ）。
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（*）其中n，m，r∈N*，r≤m＜n且r≤n-m，
某同学用概率论方法证明等式(*)如下：设一批产品共有n件，其中m件是次品，其余为正品，现从中随机取出r件产品，记事件Ak={取到的r件产品中恰有k件次品}，则
，k=0，1，…，r。显然A0，A1，…，Ar为互斥事件，且
（必然事件），因此
，所以，
，即等式(*)成立。对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑．
现有以下四个判断：①等式(*)成立；②等式(*)不成立；③证明正确；④证明不正确，试写出所有正确判断的序号（ ）。
考察等式：
+
+…+
=
（*），其中n、m、r∈N*，r≤m＜n且r≤n-m．某同学用概率论方法证明等式（*）如下：
设一批产品共有n件，其中m件是次品，其余为正品．现从中随机取出r件产品，
记事件Ak={取到的r件产品中恰有k件次品}，则P(Ak)=
，k=0，1，2，…，r．
显然A0，A1，…，Ar为互斥事件，且A0∪A1∪…∪Ar=Ω（必然事件），
因此1=P（Ω）=P（A0）+P（A1）+…P（Ar）=
，
所以
+
+…+
=
，即等式（*）成立．
对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑．现有以下四个判断：
①等式（*）成立 ②等式（*）不成立 ③证明正确 ④证明不正确
试写出所有正确判断的序号______．
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| C | 0m |
| C | rn-m |
| C | 1m |
| C | r-1n-m |
| C | rm |
| C | 0n-m |
| C | rn |
设一批产品共有n件，其中m件是次品，其余为正品．现从中随机取出r件产品，
记事件Ak={取到的r件产品中恰有k件次品}，则P(Ak)=
| ||||
|
显然A0，A1，…，Ar为互斥事件，且A0∪A1∪…∪Ar=Ω（必然事件），
因此1=P（Ω）=P（A0）+P（A1）+…P（Ar）=
| ||||||||||||
|
所以
| C | 0m |
| C | rn-m |
| C | 1m |
| C | r-1n-m |
| C | rm |
| C | 0n-m |
| C | rn |
对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑．现有以下四个判断：
①等式（*）成立 ②等式（*）不成立 ③证明正确 ④证明不正确
试写出所有正确判断的序号______．
（2010•福建模拟）考察等式：
+
+…+
=
（*），其中n、m、r∈N*，r≤m＜n且r≤n-m．某同学用概率论方法证明等式（*）如下：
设一批产品共有n件，其中m件是次品，其余为正品．现从中随机取出r件产品，
记事件Ak={取到的r件产品中恰有k件次品}，则P(Ak)=
，k=0，1，2，…，r．
显然A0，A1，…，Ar为互斥事件，且A0∪A1∪…∪Ar=Ω（必然事件），
因此1=P（Ω）=P（A0）+P（A1）+…P（Ar）=
，
所以
+
+…+
=
，即等式（*）成立．
对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑．现有以下四个判断：
①等式（*）成立 ②等式（*）不成立 ③证明正确 ④证明不正确
试写出所有正确判断的序号
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| C | 0 m |
| C | r n-m |
| C | 1 m |
| C | r-1 n-m |
| C | r m |
| C | 0 n-m |
| C | r n |
设一批产品共有n件，其中m件是次品，其余为正品．现从中随机取出r件产品，
记事件Ak={取到的r件产品中恰有k件次品}，则P(Ak)=
| ||||
|
显然A0，A1，…，Ar为互斥事件，且A0∪A1∪…∪Ar=Ω（必然事件），
因此1=P（Ω）=P（A0）+P（A1）+…P（Ar）=
| ||||||||||||
|
所以
| C | 0 m |
| C | r n-m |
| C | 1 m |
| C | r-1 n-m |
| C | r m |
| C | 0 n-m |
| C | r n |
对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑．现有以下四个判断：
①等式（*）成立 ②等式（*）不成立 ③证明正确 ④证明不正确
试写出所有正确判断的序号
①③
①③
．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记
，求随机变量
的分布列与数学期望
.
【解析】依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为
，去参加乙游戏的概率为
.
设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件
则
.
（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率
（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则
.由于
互斥，故
所以，这个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为
.
（3）的所有可能取值为0,2,4.由于
互斥，
互斥，故
所以的分布列是
|
|
0 |
2 |
4 |
|
P |
|
|
|
随机变量的数学期望
.
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