摘要：设集合.集合.使.则的值是多少?

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设正数数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N^*，S_n是和a_n的等差中项．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)在集合M＝{m|m＝2k，k∈Z，且1000≤k＜1500中，是否存在正整数m，使得不等式对一切满足n＞m的正整数n都成立？若存在，则这样的正整数m共有多少个？并求出满足条件的最小正整数m的值；若不存在，请说明理由；

(3)请构造一个与数列{S_n}有关的数列{u_n}，使得存在，并求出这个极限值．

设正数数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N^*，S_n是和a_n的等差中项．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)在集合M＝{m|m＝2k，k∈z，且1000≤k＜1500}中，是否存在正整数m，使得不等式S_n－1005＞对一切满足n＞m的正整数n都成立？若存在，则这样的正整数m共有多少个？并求出满足条件的最小正整数m的值；若不存在，请说明理由．

设正数数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N*，S_n是a_n²和a_n的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}中，是否存在正整数m，使得不等式 $数学公式$ 对一切满足n＞m的正整数n都成立？若存在，则这样的正整数m共有多少个？并求出满足条件的最小正整数m的值；若不存在，请说明理由；
（3）请构造一个与数列{S_n}有关的数列{u_n}，使得 $数学公式$ 存在，并求出这个极限值．

设正数数列{a_n} 的前n项和为 S_n，且对任意的n∈N^*，S_n是a_n²和a_n的等差中项．
（1）求数列{a_n} 的通项公式；
（2）在集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k≤1500中，是否存在正整数m，使得不等式S_n-1005＞ $数学公式$ 对一切满足n＞m的正整数n都成立？若存在，则这样的正整数m共有多少个？并求出满足条件的最小正整数m的值；若不存在，请说明理由．