摘要： 2000年某内河可供船只航行的河流段长为1000千米.由于水资源的过度使用.促使河水断流.从2000起该内河每年船只可行驶的河段长度仅为上一年的.则到2009年.该内河可供船只行驶的河段长度为 答: 三角函数专题 第一课时 例1. 解: 例2. 解: . . 例3. 解: 例4. 解: 备用题1. 求的值. 解:由得 即 两边同时除以得.. (本题也可以进行切割化弦.进而求的值.) 备用题2. 解:由题设知. . 由求根公式. 作业1. 解: 作业2. 解: 作业3. 解: 作业4. 解:(1)因为 (2) 第二课时 例1．已知且为锐角.试求的值. 解:且为锐角.所以 .所以. 例2．求证:. 证明:左边= =右边.原式得证. 例3．求函数的值域. 解:设.则原函数可化为 .因为.所以 当时..当时.. 所以.函数的值域为. 例4．已知的最大值为3.最小值为-1.求的值. 解:当时.由.当时.由. 所以.. 备用题1．已知求的值. 解:. 又.. 而.所以.所以. 备用题2．已知求证:. 证明:所以 所以. 又所以. 作业1．已知都是锐角.且求. 解:由题意. 所以 .又因为都是锐角.所以. 所以..(也可以用.来求) 作业2．求函数的值域. 解:设.则. 原函数可化为 当t=1时..当时..所以.函数值域为. 作业3．求函数的最大值与最小值. 解:.当时.. 当时.. 作业4．求证:. 证明: . 所以.左边=右边.原式得证. 第三课时 例1．求函数的最小值.并求其单调区间. 解: 因为.所以.所以. 所以.当即时.的最小值为. 因为是单调递增的.所以上单调递增. 例2．已知函数. (1) 求的最小正周期.的最大值及此时x的集合, (2) 证明:函数的图像关于直线对称. 解: (1)所以的最小正周期.因为. 所以.当.即时.最大值为, (2)证明:欲证明函数的图像关于直线对称.只要证明对任意.有成立. 因为. . 所以成立.从而函数的图像关于直线对称. 例3．已知函数.若.且.求的取值范围. 解:.因为.所以.所以. 所以.而.即. 所以..解得:.所以的取值范围是. 例4．已知函数. (1) 求的最小正周期, (2) 求的最小值及取得最小值时相应的x值, (3) 若当时.求的值. 解: (1) 由上可知.得最小正周期为, (2) 当.即时.得最小值为-2, (3) 因为.所以.令. 所以.所以. 备用题1．已知函数. (1) 将写成含的形式.并求其对称中心, (2) 如果三角形ABC的三边a.b.c满足b2=ac.且边b所对角为x.试求x的范围及此时函数的值域. 解:(1) . 令得.即对称中心为 (2)由b2=ac..所以.此时.所以. 所以.即值域为. 备用题2．已知函数.求 (1) 当x为何值时.函数有最大值?最大值为多少? (2) 求将函数的图像按向量平移后得到的函数解析式.并判断平移后函数的奇偶性. 解:(1). 当.即时., (2)按平移.即将函数的图像向左平移单位.再向下平移2个单位得到所求函数的图像.所以得到解析式为 . 由.所以平移后函数为偶函数. 作业1．已知函数的最小正周期为.且当时.函数有最小值.(1)求 的解析式,(2)求的单调递增区间. 解:(1) .由题意. 当时...不是最小值. 当时...是最小值. 所以, (2)当. 即时.函数单调递增. 作业2．已知定义在R上的函数的最小正周期为...(1)写出函数 的解析式,(2)写出函数 的单调递增区间,(3)说明的图像如何由函数的图像变换而来. 解:(1) .由题意. .代入.有.所以, (2) 当.函数单调增, (3) 将函数的图像向左平移单位.再将得到的函数图像上所有的点的纵坐标不变.横坐标缩短到原来的倍.可得到函数的图像. 作业3．已知.求的最值. 解:因为.即.原函数化为 . 当时..当时.. 作业4．就三角函数的性质.除定义域外.请再写出三条. 解: a. 奇偶性:非奇非偶函数, b. 单调性:在上为单调增函数. 在上为单调减函数, c. 周期性:最小正周期, d. 值域与最值:值域.当时.取最小值. 当时.取最大值, e.对称性:对称轴.对称中心. 第四课时 例1．在中.角A.B.C满足的方程的两根之和为两根之积的一半.试判断的形状. 解:由条件可知..即.因为.所以.即.所以.所以A=B.即为等腰三角形. 例2．在中.a.b.c分别是角A.B.C的对边.若.求角C的值. 解:.所以.所以.所以.又.所以.即. 得.所以. 例3．在中.a.b.c分别是角A.B.C的对边.且. (1)求的值, (2)若.且a=c.求的面积. 解:(1)由正弦定理及.有. 即.所以. 又因为..所以.因为.所以.又.所以. (2)在中.由余弦定理可得.又. 所以有.所以的面积为 . 例4．在中.A.B.C满足.求的值. 解:由.且.所以. . 所以. 备用题1．在中.A.B.C满足. (1)用表示, (2)求角B的取值范围. 解:(1) 因为.所以.由. 得(1).易知. 若.则.所以.不合题意. 若.则.不合题意. 对(1)式两边同除以得., (2)因为C为的一个内角.所以.则由. 知异号.若.则A为钝角.B为锐角.此时 .因为.不合题意, 若.则B为钝角. A为锐角. 则.因为A为锐角.所以.所以.所以. 备用题2．已知A.B.C是的三个内角..若任意交换两个角的位置.y的值是否变化?证明你的结论. 证明:因为A.B.C是的三个内角..所以. . 因此任意交换两个角的位置.y的值不变. 作业1．在中.a.b.c分别是角A.B.C的对边.且. (1) 求角B的大小,(2)若.求a的值. 解:(1)由正弦定理.条件可化成. 即. 因为.所以.所以. 因为.所以.B为三角形内角.所以, (也可以用余弦定理进行角化边完成) (2)将.代入余弦定理.得 .整理得.解得. 作业2．在中..且.判断三角形形状. 解:因为.则.则. 又因为.所以.所以.若.则.无意义. 所以.三角形为正三角形. 作业3．在中.已知A.B.C成等差数列.求的值. 解:因为A.B.C成等差数列.则.所以 . 作业4．在中..求的值和三角形面积. 解:由.因为. 所以.又因为 . 第五课时 例1．已知向量. (1)求的值,(2)若的值. 解:(1)因为 所以 又因为.所以. 即, (2) . 又因为.所以 . .所以.所以. 例2．已知向量 .且. (1)求函数的表达式, (2)若.求的最大值与最小值. 解:(1)...又. 所以. 所以.即, 可得.令导数.解得.列表如下: t -1 1 (1.3) 导数 0 - 0 + 极大值 递减 极小值 递增 而所以. 例3．已知向量.其中是常数.且.函数的周期为.当时.函数取得最大值1. (1)求函数的解析式, (2)写出的对称轴.并证明之. 解:(1) . 由周期为且最大值为1.所以由. 所以, 知.令.解得对称轴方成为. .所以是的对称轴. 例4．已知向量.定义函数. (1)求函数 的最小正周期, (2)确定函数的单调区间. 解:(1). 所以.所以最小正周期为, (2)令

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