摘要：与三角形的“四心 有关的高考连接题及其应用 例1:是平面上一定点.A.B.C是平面上不共线的三点.动点P满足..则动点P的轨迹一定通过△ABC的( ) 内心 垂心 事实上如图设都是单位向量 易知四边形AETF是菱形 故选答案B 例2:(2005年北京市东城区高三模拟题)为△ABC所在平面内一点.如果.则O必为△ABC的( ) 内心 垂心 事实上OB⊥CA 故选答案D 例3:已知O为三角形ABC所在平面内一点.且满足 .则点O是三角形ABC的( ) 内心 垂心 事实上由条件可推出 故选答案D 例4:设是平面上一定点.A.B.C是平面上不共线的三点. 动点P满足..则动点P的轨迹一定通过△ABC的( ) 内心 垂心 事实上 故选答案D 例5:2005年全国(I)卷第15题“的外接圆的圆心为.两条边上的高的交点为..则实数= 先解决该题: 作直经.连.,有.....故. 故是平行四边形.进而.又 ∴ 故.所以 评注:外心的向量表示可以完善为: 若为的外心.为垂心.则.其逆命题也成立. 例6．已知向量..满足条件++=0.||=||=||=1. 求证: △P1P2P3是正三角形.(第一册(下).复习参考题五B组第6题) 证明: 由已知+=-.两边平方得·=. 同理 ·=·=. ∴||=||=||=.从而△P1P2P3是正三角形. 反之.若点O是正三角形△P1P2P3的中心.则显然有++=0且||=||=||.即O是△ABC所在平面内一点. ++=0且||=||=||点O是正△P1P2P3­的中心.

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