摘要：与三角形的“四心 有关的一些常见的其它向量关系式 ① 设.则向量必平分∠BAC.该向量必通过△ABC的内心; ② 设.则向量必平分∠BAC的邻补角 ③ 设.则向量必垂直于边BC.该向量必通过△ABC的垂心 ④ △ABC中一定过的中点.通过△ABC的重心 ⑤为△ABC的重心(P是平面上任意点). 证明 ∵G是△ABC的重心 ∴==.即 由此可得. ⑤ △ABC的外心.重心.垂心共线.即∥ 证明:(详细证明见欧拉线的证明) 按重心定理 G是△ABC的重心 按垂心定理 .由此可得 . ⑥ 设为△ABC所在平面内任意一点.I为△ABC的内心. * 内心I(.) 证明:由是的内心.(其中是三边)(见内心的充要条件的证明) , ∴I(.).
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4、命题“在△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是锐角．”的证明过程如下：
假设∠B不是锐角，则∠B是直角或钝角，即∠B≥90°，
所以∠A+∠B+∠C≥∠A+90°+90°＞180°，
这与三角形的内角和等于180°矛盾
所以上述假设不成立，所以∠B一定是锐角．
本题采用的证明方法是（ ）
假设∠B不是锐角，则∠B是直角或钝角，即∠B≥90°，
所以∠A+∠B+∠C≥∠A+90°+90°＞180°，
这与三角形的内角和等于180°矛盾
所以上述假设不成立，所以∠B一定是锐角．
本题采用的证明方法是（ ）
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（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．
如图，反比例函数
（
）的图像过点
和
，点
为该函数图像上一动点，过
分别作
轴、
轴的垂线，垂足为
、
．记四边形
（
为坐标原点）与三角形
的公共部分面积为
．
（1）求关于的表达式；
（2）求的最大值及此时的值．
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的中位线
，将平面
折起，使得平面
平面
得到四棱锥
．
平面
；
的中点
的平面
与平面
的余弦值。
中，若
是直角，则
一定是锐角．”的证明过程如下：
，而
，
矛盾，所以上述假设不成立，