摘要：如图.△ABC的三边AC=3.BC=4.AB=5.我们可以利用切线长相等.或其他方法求出△ABC的内切圆半径为. 1求出和BA的延长线.BC的延长线.AC都相切的圆的半径. 2画出和AB的延长线.AC的延长线.BC都相切的圆的大致位置.并求出该圆的半径. 3找出和CA的延长线.CB的延长线.AB都相切的圆的半径.
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我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法。请你用等面积法来探究下列两个问题：
（1）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，请你用它来验证勾股定理；
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，求CD的长度。
（1）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，请你用它来验证勾股定理；
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，求CD的长度。
我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质，如在关线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题：
（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：
；
（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足
，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG．S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究
的最大值。
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如果我们定义：“到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的开心点。”那么：
（1）如图1，观察并思考，△ABC的开心点有 个
（2）如图2，CD为等边三角形ABC的高，开心点P在高CD上，且PD=
，则∠APB的度数为
（3）已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，开心点P在AC边上，试探究PA的长。
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如果我们定义：“到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的开心点。”那么：
（1）如图1，观察并思考，△ABC的开心点有 个
（2）如图2，CD为等边三角形ABC的高，开心点P在高CD上，且PD=
，则∠APB的度数为
（3）已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，开心点P在AC边上，试探究PA的长。
（1）如图1，观察并思考，△ABC的开心点有 个
（2）如图2，CD为等边三角形ABC的高，开心点P在高CD上，且PD=
，则∠APB的度数为 （3）已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，开心点P在AC边上，试探究PA的长。
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为
，求这个三角形的面积。
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图（1）所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积。
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上__________；
思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法，若△ABC三边的长分别为
（a>0），请利用图（2）的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积；
探索创新：
（3）若△ABC三边的长分别为
、
（m>0，n>0，且m≠n），试运用构图法求出这个三角形的面积。
，求这个三角形的面积。小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图（1）所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积。
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上__________；
思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法，若△ABC三边的长分别为
（a>0），请利用图（2）的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积；探索创新：
（3）若△ABC三边的长分别为
、（m>0，n>0，且m≠n），试运用构图法求出这个三角形的面积。