Question

如果我们定义：“到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的开心点。”那么：

（1）如图1，观察并思考，△ABC的开心点有         个
（2）如图2，CD为等边三角形ABC的高，开心点P在高CD上，且PD=，则∠APB的度数为          
（3）已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，开心点P在AC边上，试探究PA的长。

Answer 1

（1）无数；（2）90°；（3）2或.

试题分析：（1）根据线段垂直平分线的性质可知，△ABC的开心点有无数个；（2）连接PA、PB，根据开心点的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系，然后判断出只有情况③是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB的度数；（3）先根据勾股定理求出AC的长度，根据开心点的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况，根据三角形的性质计算即可得解.
试题解析：（1）无数.
（2）①若PB=PC，连接PB，则∠PCB=∠PBC，
∵CD为等边三角形的高，∴AD=BD，∠PCB=30°.
∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=DB=AB.与已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC.
②若PA=PC，连接PA，同理可得PA≠PC.
③若PA=PB，由PD=AB，得PD="AD" =BD，∴∠APD=∠BPD="45°." ∴∠APB=90°.
（3）∵BC=5，AB=3，∴AC=.
①若PB=PC，设PA=，则，∴，即PA=.
②若PA=PC，则PA=2.
③若PA=PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能.
∴PA=2或.