摘要：例1. 若方程是关于x的一元二次方程.求m的值 分析:已知方程是关于x的一元二次方程.故可化成.其中方程左边是一个关于未知数x的二次三项式().方程右边是零.由此可知该一元二次方程的二次项为. 解:由已知得.解得=-1 点评:方程是不是一元二次方程.关键要看它能不能化成.其中方程左边是一 个关于未知数x的二次三项式().方程右边是零. 例2.关于x的一元二次方程的一个根是0.求a的值关于x的方程 分析:要求a的值.需列关于a的方程. 由已知0是关于x的一元二次方程的根.由根的概念.0满足方程.即a2-1=0,这就是关于a的方程 解:由已知得a2-1=0..解得a=1或a=-1.又因为方程式关于x的一元二次方程.故a-1≠0.既a≠1 所以a=-1. 点评:注意只有当时.方程才有二次项.才能叫一元二次方程. 例2. 求一元二次方程=2x2+3的二次项系数.一次项系数.常数项的和. 分析:要求系数.需把方程整理成的形式.其中 a叫做二次项系数.b叫做一次项系数.c叫做常数项. 解:去括号得.移项.合并同类项得.所以所求值为4+7-1=10 点评:写一元二次方程各项得系数时要连同前面的符号.如的一次项系数为-1.当一元二次方程的一般形式有缺项时.他们的系数是零.如的常数项为0 例3. 解下列方程 (1) (2) (3) (4) 分析:要使用直接开平方法解方程.方程应易化为的形式.如(1),要使用因式分解法解方程.一元二次方程需化为一般形式.且易于因式分解.如(2),而配方法解方程的关键是要把方程化为二次项系数为1的一般形式.再在方程两边同加上一次项系数一半的平方.如(3).公式法可解任何的一元二次方程.公式法解一元二次方程的关键是化为一般形式后.准确确定a.b.c及运运公式.如. 解:(1)移项得.两边直接开平方得.即x=15或 (2)方程左边分解因式得=0,所以x+3=0或x-4=0,即x=-3或x=4. (3)两边同除以2得.移项得.两边同加减-2一半的平方1得.即.两边直接开平方得. (4)移项得.因为.所以.因此一元二次方程无解. 点评:解一元二次方程时.要根据实际情况.灵活选用解方程的方法.若方程应易化为的形式.则利用直接开平方法比较方便.对一元二次方程的一般形式而言.若易于因式分解..则利用因式分解法;若易于配成完全平方式.则利用因式分解法,否则就用求根公式. 例4. 用配方法说明.不论x取何值.代数式的值总不小于8.并求出x取何值时这个代数式的值最小 分析:配方法即配成完全平方式.配方法分三步进行:(1)当二次项系数不为一时.首先要化为一.(2)加上一次项系数一半的平方,(3)写成完全平方式 解 因为 :.所以不论x取何值.代数式的值总不小于8.并且时.代数式的值最小 点评:配方法是一种非常重要的数学思想之一.它的本质是给配上常数项.写成完全平方式. 主要分两步(1)当二次项系数不为一时.首先要化为一.(2)加上一次项系数一半的平方. 例5.已知 分析:若把方程看成关于x的一元二次方程.y看作常数.解该一元二次方程.就可以求出x. 解:因为.左边分解因式得.即2x-y=0或x+2y=0,因此.当时.=.当时=-3; 点评: 把方程看成关于x的一元二次方程.y看作常数.通过解方程求出了x,本题中.方程也可以看成关于y的一元二次方程.还可以看成关于x.y的二次三项式等于零. 例6. 关于x的方程(m-1)x2-2(m-3)x+m+2＝0有实数根.求m的取值范围. 分析:当m-1≠0时.该方程为关于x一元二次方程,要使一元二次方程有实数根.需;当m-1=时.该方程变为6x+2=0,它是一元一次方程.有实数根 解:当m-1≠0时, 该方程为关于x一元二次方程 ∵原方程有实数根 ∴即Δ＝［-2 ＝-28m+44即.当m-1=时.该方程变为6x+2=0,它是一元一次方程.有实数根 点评:要使一元二次方程有实数根.只需.但千万别忘了一元二次方程二次项系数不能为零这个隐含条件.另外关于x的方程与关于x的一元二次方程是不同的.前者并未说明a是否为零.后者强调. 例7. 商店里某件商品在两个月里连续降价两次.现在该商品每件的价格比两个月前下降了.问平均每月降价百分之几? 分析:要求平均每月降价的百分数x.需列关于x的方程,列方程的条件是:连续降价两次后的商品价格比两个月前下降了,即两个月后的价格等于两个月前的价格乘以().若把原价看作a,第一个月后的价格为.第二个月后的价格为 解:设平均每月降价的百分数为x.原价为a,则 .因为.所以.两边直接开平方得x=0.1或x=1.9 由于降价的百分率不可能大于1.应舍去.所以x=0.1= 答:平均每月降价的百分数为 点评:当题目中没有原始量时.一般可设原始量为a或1.由于a不等于零.可约去.所以称辅助设元.例8..如图.在宽为20m.长为32m的矩形田地中央.修筑同样宽 的两条互相垂直的道路.把矩形田地分成四个相同面积的小田块.作为良种试验田.要使每小块试验田的面积为135m2.道路的宽应为多少? 分析:要求宽.需列关于宽的方程.为此需要在题目中寻找反映等量关系的句子.如本题中的两条互相垂直的道路把矩形田地分成四个相同面积的小田块.即分割前与分割后矩形的面积保持不变.为了把等量关系用方程表示.需把各个量表示出来.设要求量道路的宽为x.则道路面积分别为20x和3x.由于两条道路交叉处的面积为x2.因此道路所占的面积为20x+32x-x2. 解:设道路的宽为x.则道路所占的面积为20x+32x-x2 根据题意得:135×4＝20×32-(20x+32x-x2) 整理得:x2-52x+100＝0 解得:x＝2或x＝50 ∵ x＝50不符合题意舍去 ∴ 只能取x＝2 答:道路的宽应为2m. 点评:在解应用题时.要根据实际问题.看结果是否符合实际问题.要把使实际问题无意义的解要舍去. 例9.如图22.2.1.一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮.要在它的四角截去四个相等的小正方形.折成一个无盖的长方体水槽.使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长. 分析 设截去正方形的边长x厘米之后.关键在于列出底面长和宽的代数式.结合图示和原有长方形的长和宽.不难得出这一代数式. 解 设截去正方形的边长为x厘米.根据题意.得 (60-2x) (40-2x) ＝800. 请同学们自己解一下这个方程.并讨论它的解是否符合题意. 点评:在应用一元二次方程解实际问题时.也像以前学习一元一次方程一样.要注意分析题意.抓住主要的数量关系.列出方程.把实际问题转化为数学问题来解决.求得方程的解之后.一定要注意检验是否符合题意.然后得到原问题的解答. 例10.已知关于x的一元二次方程(a2-1)x2-2(a+1)x+1＝0的两实数根互为倒数.求a的值. 分析:要求a的值.就要列关于a的方程.由已知两实数根互为倒数.即.因此可见解决问题的关键是如何将方程化为关于a的方程.一种方法是解关于x的方程,另一种方法是利用根与系数的关系.即.显而易见.后者比较简单.(a2-1)x2-2(a+1)x+1＝0 解:设方程的两根为 .由韦达定理得:=1.即 由于一元二次方程有两个不相等的实数根.所以.即 因为.应舍去. 再因为方程为一元二次方程.故.满足条件. 所以 点评:在利用根与系数的关系解决有关求参数值的问题时.一定要注意:方程必须是一元二次方程.方程有两个根(即).大多数学生在解此题时.易忽视这两个条件对参数的限制而造成错误. 例11.已知:关于x的方程 (1) 求证:次方程总有实数根 (2) 当方程有两个实数根且两实数根的平方和等于4时.求k的值. 分析:要证明方程总有实数根,当,当k-2=0时.方程变成-2x+3=0,显然有实数根.(2)要求k的值.需列关于k的方程.因此只要将题目中的等量关系利用化为关于k的方程.在解方城就可以了. 解:(1)因为当k-2=0时.方程变成-2x+3=0,显然有实数根,当 因为.因为.所以 综上.关于x的方程 总有实数根. (2)设.是方程的两个实数根. 则 .． 因为.所以.整理得 解得 点评:方程是不是一元二次方程.一要看方程的形式.二要看题目中是否有方程有两个实数根暗示.如果说方程有两个实数根.则该方程一定是一元二次方程.另外.注意利用根与系数的关系表示下面的式子.. 22．1-2一元二次方程及其解法

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