题目内容

已知：关于x的一元二次方程x²-（2m-1）x+m²-m=0
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个实数根分别为a、b（其中a＞b），若y是关于m的函数，且y=3b-2a，请求出这个函数的解析式；
（3）请在直角坐标系内画出（2）中所得函数的图象；将此图象在m轴上方的部分沿m轴翻折，在y轴左侧的部分沿y轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象，动点Q在双曲线 $数学公式$ 被新图象截得的部分（含两端点）上运动，求点Q的横坐标的取值范围．

解：（1）依题意，得△=[-（2m-1）]²-4（m²-m）
=4m²-4m+1-4m²+4m=1＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根．

（2）解方程x²-（2m-1）x+m²-m=0
得x=m或x=m-1，
∵a＞b，m＞m-1，
∴a=m，b=m-1，
∴y=3b-2a=m-3．

（3）y=m-3在坐标系内图象如图所示，
设该图象与m轴交于点A，与y轴交于点B，
则点A坐标为（3，0），点B坐标为（0，-3），
翻折后图象如图所示，设翻折后图象与 $\text{[math]}$ 交于C、D两点，
可得射线AD的解析式为：y=-m+3（m≥3），
射线AD与双曲线 $\text{[math]}$ 交点D的坐标为（4，-1），
同理可得射线BC与双曲线 $\text{[math]}$ 交点C的坐标为（1，-4），
直线y=m-3与双曲线 $\text{[math]}$ 无交点，
∴点Q的横坐标的取值范围是1≤m≤4．
分析：（1）若要证明方程有两个不相等的实数根，只需证明△＞0．
（2）用m表示出方程的两个实根，然后代入y=3b-2a中即可．
（3）先画出y=m-3的图象，然后根据所画图象画出翻折后的图象如图示，则可以确定AD、BC的解析式，进而可以求出它们与双曲线的交点，从而确定Q的横坐标的取值范围．
点评：本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系是：△＞0?方程有两个不相等的实数根；并且函数图象的交点的坐标是函数解析式组成的方程组的公共解．