摘要：例1 如图.点D.E.分别为△ABC边AB.AC的中点.求证:DE∥BC且DE=BC． 分析:所证明的结论既有平行关系.又有数量关系.联想已学过的知识.可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中.利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立.从而使问题得到解决.这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形． 方法1:如图(1).延长DE到F.使EF=DE.连接CF.由△ADE≌△CFE.可得AD∥FC.且AD=FC.因此有BD∥FC.BD=FC.所以四边形BCFD是平行四边形．所以DF∥BC.DF=BC.因为DE=DF.所以DE∥BC且DE=BC． (也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点.证明方法与上面大体相同) 方法2:如图(2).延长DE到F.使EF=DE.连接CF.CD和AF.又AE=EC.所以四边形ADCF是平行四边形．所以AD∥FC.且AD=FC．因为AD=BD.所以BD∥FC.且BD=FC．所以四边形ADCF是平行四边形．所以DF∥BC.且DF=BC.因为DE=DF.所以DE∥BC且DE=BC． 定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． [思考]: (1)想一想:①一个三角形的中位线共有几条?②三角形的中位线与中线有什么区别? (2)三角形的中位线与第三边有怎样的关系? 一个三角形的中位线共有三条,三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线,中线是顶点与对边中点的连线． (2)三角形的中位线与第三边的关系:三角形的中位线平行与第三边.且等于第三边的一半．) 三角形中位线的性质:三角形的中位线平行与第三边.且等于第三边的一半． [拓展]利用这一定理.你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗? 例2.在四边形ABCD中.E.F.G.H分别是 AB.BC.CD.DA的中点． 求证:四边形EFGH是平行四边形． 分析:因为已知点E.F.G.H分别是线段的中点.可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形.所以添加辅助线.连接AC或BD.构造“三角形中位线 的基本图形后.此题便可得证． 证明:连结AC.△DAG中. ∵ AH=HD.CG=GD. ∴ HG∥AC.HG=AC． 同理EF∥AC.EF=AC． ∴ HG∥EF.且HG=EF． ∴ 四边形EFGH是平行四边形． 此题可得结论:顺次连结四边形四条边的中点.所得的四边形是平行四边形．

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