取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：
第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图（1）所示；
第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB′E，如图（2）所示；
第三步：沿EB′线折叠得折痕EF，如图（3）所示；利用展开图（4）所示．

探究：
（1）△AEF是什么三角形？证明你的结论．
（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．
（3）如图（5），将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在DC边上的点A′处，x轴垂直平分DA，直线EF的表达式为y=kx-k （k＜0）
①问：EF与抛物线y=-

1

8

x2 有几个公共点？
②当EF与抛物线只有一个公共点时，设A′（x，y），求

x

y

的值．

24、小明打算用如图的矩形纸片ABCD折出一个等边三角形．他的操作步骤是：
①先把矩形纸片对折后展开，并设折痕为AM；
②把B点叠在折痕线上，得到Rt△AB₁E；
③沿着EB₁线折叠，得到△EAF．小明认为，所得的△EAF即为等边三角形．
试问，小明的结论是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，请你给出一种将矩形纸片ABCD折为一个等边三角形的方法．