Question

24、小明打算用如图的矩形纸片ABCD折出一个等边三角形．他的操作步骤是：
①先把矩形纸片对折后展开，并设折痕为AM；
②把B点叠在折痕线上，得到Rt△AB₁E；
③沿着EB₁线折叠，得到△EAF．小明认为，所得的△EAF即为等边三角形．
试问，小明的结论是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，请你给出一种将矩形纸片ABCD折为一个等边三角形的方法．

Answer 1

分析：首先根据平行线等分线段定理得到B₁E=B₁F，再结合AB₁⊥EF得到AE=AF．只需再进一步得到有一个角是60度即可．根据折叠知∠BAE=∠B₁AE，根据等腰三角形的三线合一得到∠B₁AE=∠B₁AF，从而得到∠EAF=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可证明．

解答：解：该三角形是等边三角形．理由如下：
∵AD∥MN∥BC，AM=BM，
∴B₁E=B₁F，
又∠AB₁E=∠B=90°，
∴AE=AF，
∴∠B₁AE=∠B₁AF．
根据折叠得∠BAE=∠B₁AE，
∴∠BAE=∠B₁AE=∠B₁AF=30°，
∴∠EAF=60°，
∴△EAF即为等边三角形．

点评：综合考查等边三角形的判定方法，平行线等分线段定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点．