摘要：使学生参与教学过程.通过主体的积极思维.体验感悟数学.逐步建立数学的观念.培养学生独立地获取知识的能力. 教学重点:初步理解数形结合的数学思想 教学难点:初步理解数形结合的数学思想 教学用具:微机 教学方法:探究式.小组合作学习 教学过程: 例1.已知:抛物线y=x2-(m2-1)x-2m2-2 ⑴求证:无论m取什么实数.抛物线与x轴一定有两个交点 ⑵m取什么实数时.两交点间距离最短?是多少? 解: △ = (m2-1)2+4(2m2+2) = m4-2m2+1+8m2+8 = m4+6m2+9 = (m2+3)2 m2≥0 ∴m2+3＞0 ∴△＞0 ∴抛物线与x轴有两个交点 问题:为什么说当△＞0时.抛物线y = ax2+bx+c与x轴有两个交点.(能否从数和形两方面说明) 设计意图:在课堂上创设让学生说数学的机会.学会合作学习.以达到①经验共享.在思维的碰撞中共同提高.②学会合作.消除个人中心.③发现自我.提高参与度.④弘扬个体的主体性.形成健康.丰富的个性. 数:点在曲线上.点的坐标满足曲线的方程.反之.曲线方程的每一个实数解对应的点都在曲线上.抛物线与x轴的交点.既在抛物线上.又在x轴上.所以交点的坐标既满足抛物线的解析式.也满足x轴的解析式.设交点坐标为(x.y) ∴ 这样交点问题就转化成求这个二元二次方程组的解.代入y = 0.消去y.转化成ax2+bx+c=0这个一元二次方程求根问题.根据以前学过的知识.当△＞0时. ax2+bx+c=0有两个不相等的实根.∴y = ax2+bx+c y = 0 有两个不等的实数解 ∴抛物线与x轴交于两个不同的点. 形:顶点在x轴上方.且开口向下.或者顶点在x轴下方.且开口向上. 设计意图:渗透解析几何的基本思想 使学生掌握转化思想使学生在解题过程中.感知数学的直观性和形式化这二重性.掌握数形结合.分类讨论的思想方法.逐步学会数学的思维. 转化成代数语言为: 小结:第一种方法.根据解析几何的基本思想.将求曲线的交点问题.转化成求方程组的解的问题. 第二种方法.借助于图象思考问题.比较直观.发现规律后.再用数学的符号语言将其形式化.这既体现了数学中的数形结合的思想方法.也是探索解数学问题的一般方法. 思考:试从数.形两方面说明抛物线与x轴的交点个数与判别 式的符号的关系. 设计意图:数学学习是一个再创造的过程.不能等同于数学知识的汇集.而要让学生经历数学知识的创造过程.使主体积极地参与到学习中去.以数学知识为载体.揭示出蕴涵于其中的数学思想方法.逐步形成数学观念. ⑵m取什么实数时,两交点间距离最短?是多少? 解:设二次函数与x轴的两交点为(x1,0).(x2,0) 解法㈠ 由⑴可知m为任何实数时, 都有△＞0 解① ∴ x1+x2=m2-1 x1·x2=-2(m2+1) ∴│x2-x1│= = = = = m2+3 ∴当m =0时,两交点最小距离为3 这里两交点间距离是m的函数 设计意图:培养学生的问题意识.在解题过程中.发现问题.并能运用已有的数学知识.将其一般化.形式化.解决问题.体会数学问题解决的一般方法.培养学生独立地获取数学知识的能力.渗透函数思想 问题: 观察本题两交点间距离与判别式的值之间有何异同?具有一般的规律吗?如何说明. 设x1.x2 为ax2+bx+c = 0的两根 可以推出: 还可以理解为顶点到x轴距离最短. 设计意图:在对比.分析中.明确概念.揭示知识间的联系.帮助学生建立良好的认知结构. 小结:观察这道题的结论.我们猜测出规律.将其一般化.推导出这个公式.这是学习数学知识的一般方法. 解法㈡:用十字相乘法或求根公式法求根. 思考:一元二次方程与二次函数的关系. 思考:求m取什么实数时.y = x2-(m2-1)x -2 m2-2被直线y = 2所截得的线段最短?是多少? 练习: 观察函数 的图象.回答: (1)y>0时.x的取值范围如何? (2)y=0时.x取什么值? (1)y<0时.x的取值范围如何? 小结:数与形是数学中相互依赖的两个方面.图形比较直观.可以启发思路,而数学的严格证明也是必不可少的.直观性和形式化是数学的两重性.

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