摘要：例1．已知y=.其中=.与成正比例.求证y与x也成正比例. 证明:∵与成正比例. 设=a, ∵y=, =, ∴y=·a=akx. 其中ak≠0的常数. ∴y与x也成正比例. 例2．已知一次函数=(n-2)x+-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1.判断=(3-)是什么函数.写出两个函数的解析式.并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性. 解:依题意.得 解得 n=-1. ∴=-3x-1, =(3-)x, 是正比例函数, =-3x-1的图象经过第二.三.四象限.随x的增大而减小, =(3-)x的图象经过第一.三象限.随x的增大而增大. 说明:由于一次函数的解析式含有待定系数n.故求解析式的关键是构造关于n的方程.此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与y轴交点纵坐标 来构造方程. 例3．直线y=kx+b与直线y=5-4x平行.且与直线y=-3(x-6)相交.交点在y轴上.求此直线解析式. 分析:直线y=kx+b的位置由系数k.b来决定:由k来定方向.由b来定与y轴的交点.若两直线平行.则解析式的一次项系数k相等.例 y=2x,y=2x+3的图象平行. 解:∵y=kx+b与y=5-4x平行. ∴k=-4, ∵y=kx+b与y=-3(x-6)=-3x+18相交于y轴. ∴b=18. ∴y=-4x+18. 说明:一次函数y=kx+b图象的位置由系数k.b来决定:由k来定方向.由b来定点.即函数图象平行于直线y=kx.经过点.反之亦成立.即由函数图象方向定k.由与y轴交点定b. 例4．直线与x轴交于点A.与y轴交于点B.若点B到x轴的距离为2.求直线的解析式. 解:∵点B到x轴的距离为2. ∴点B的坐标为. 设直线的解析式为y=kx±2, ∵直线过点A. ∴0=-4k±2, 解得:k=±, ∴直线AB的解析式为y=x+2或y=-x-2. 说明:此例看起来很简单.但实际上隐含了很多推理过程.而这些推理是求一次函数解析式必备的. (1)图象是直线的函数是一次函数, (2)直线与y轴交于B点.则点B(0.), (3)点B到x轴距离为2.则||=2, (4)点B的纵坐标等于直线解析式的常数项.即b=, (5)已知直线与y轴交点的纵坐标.可设y=kx+. 下面只需待定k即可. 例5．已知一次函数的图象.交x轴于A.交正比例函数的图象于点B.且点B在第三象限.它的横坐标为-2.△AOB的面积为6平方单位.求正比例函数和一次函数的解析式. 分析:自画草图如下: 解:设正比例函数y=kx. 一次函数y=ax+b. ∵点B在第三象限.横坐标为-2. 设B(-2.).其中<0. ∵=6. ∴AO·||=6. ∴=-2. 把点B代入正比例函数y=kx.得k=1 把点A代入y=ax+b. 得 解得: ∴y=x, y=-x-3即所求. 说明:(1)此例需要利用正比例函数.一次函数定义写出含待定系数的结构式.注意两个函数中的系数要用不同字母表示, (2)此例需要把条件转化为点B的坐标.这个转化实质含有两步:一是利用面积公式AO·BD=6计算出线段长BD=2.再利用||=BD及点B在第三象限计算出=-2.若去掉第三象限的条件.想一想点B的位置有几种可能.结果会有什么变化?(答:有两种可能.点B可能在第二象限.结果增加一组y=-x, y=(x+3). 例6．已知正比例函数y=kx 图象上的一点与原点的距离等于13.过这点向x轴作垂线.这点到垂足间的线段和x轴及该图象围成的图形的面积等于30.求这个正比例函数的解析式. 分析:画草图如下: 则OA=13.=30. 则列方程求出点A的坐标即可. 解法1:设图象上一点A满足 解得:,,, 代入y=kx 得k=-, k=-. ∴y=-x或y=-x. 解法2:设图象上一点A满足 由(2)得=-, 代入(1).得(1+)·(-)=. 整理.得60+169k+60=0. 解得 k=-或k=-. ∴ y=-x或y=-x. 说明:由于题目已经给定含有待定系数的结构式y=kx.其中k为待定系数.故解此例的关键是构造关于k的方程.此例给出的两个解法代表两种不同的思路:解法1是把已知条件先转化为求函数图象上一点的坐标.构造方程解出.再求k,解法2是引进辅助未知数a.利用勾股定理.三角形面积公式直接构造关于a.k的方程组.解题时消去a.求出k值. 例7．在直角坐标系x0y中.一次函数y=x+的图象与x轴.y轴.分别交于A.B两点.点C坐标为(1.0).点D在x轴上.且∠BCD=∠ABD.求图象经过B.D两点的一次函数的解析式. 分析:由已知可得A点坐标.B点坐标(0.).点C是确定的点(1.0).解题的关键是确定点D的坐标.由点D在x轴上.以∠BCD=∠ABD的条件.结合画草图可知∠BCD的边BC确定.顶点C确定.但边CD可以有两个方向.即点D可以在C点右侧.也可以在C点左侧.因此解此题要分类讨论. 解:∵点A.B分别是直线y=x+与x轴和y轴交点. ∴A.B(0.). ∵点C坐标(1.0)由勾股定理得BC=.AB=. 设点D的坐标为. (1)当点D在C点右侧.即x>1时. ∵∠BCD=∠ABD. ∠BDC=∠ADB. ∴△BCD∽△ABD. ∴= ∴=- - - - ① ∴= ∴8-22x+5=0 ∴x1=, x2=, 经检验:x1=, x2=,都是方程①的根. ∵x=,不合题意.∴舍去.∴x=. ∴D点坐标为(, 0). 设图象过B.D两点的一次函数解析式为y=kx+b. ∴ ∴所求一次函数为y=-x+. (2)若点D在点C左侧则x<1. 可证△ABC∽△ADB. ∴ ∴- - - - ② ∴8-18x-5=0 ∴x1=-, x2=, 经检验x1=-, x2=,都是方程②的根. ∵x2=不合题意舍去.∴x1=-, ∴D点坐标为(-, 0). ∴图象过B.D(-, 0)两点的一次函数解析式为y=4x+. s 综上所述.满足题意的一次函数为y=-x+或y=4x+. 例8．已知:如图一次函数y=x-3的图象与x轴.y轴分别交于A.B两点.过点C(4.0)作AB的垂线交AB于点E.交y轴于点D.求点D.E的坐标. 解:直线y=x-3与x轴交于点A(6.0).与y轴交于点B. ∴OA=6.OB=3. ∵OA⊥OB.CD⊥AB. ∴∠ODC=∠OAB. ∴cot∠ODC=cot∠OAB,即 ∴OD===8. ∴点D的坐标为(0.8). 设过CD的直线解析式为y=kx+8,将C代入 0=4k+8, 解得 k=-2 ∴直线CD:y=-2x+8, 由 解得 ∴点E的坐标为(.-) 说明:由于点E既在直线AB上.又在直线CD上.所以可以把两直线的解析式联立.构成二元一次方程组.通过解方程组求得.

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